Hubungan antara poisson dan distribusi eksponensial

Waktu tunggu untuk distribusi poisson adalah distribusi eksponensial dengan parameter lambda. Tapi saya tidak mengerti. Poisson memodelkan jumlah kedatangan per unit waktu misalnya. Bagaimana ini terkait dengan distribusi eksponensial? Katakanlah probabilitas kedatangan k dalam satuan waktu adalah P (k) (dimodelkan dengan poisson) dan probabilitas k + 1 adalah P (k + 1), bagaimana model distribusi eksponensial memodelkan waktu tunggu di antara mereka?

Saya akan menggunakan notasi berikut agar konsisten dengan wiki (jika Anda ingin bolak-balik antara jawaban saya dan definisi wiki untuk poisson dan eksponensial .)

: jumlah kedatangan selama periode waktu$N_t$$t$

: waktu yang diperlukan untuk satu kedatangan tambahan untuk datang dengan asumsi bahwa seseorang tiba pada waktu$X_t$$t$

Menurut definisi, kondisi berikut ini setara:

$(X_t > x) \equiv (N_t = N_{t+x})$

Peristiwa di sebelah kiri menangkap peristiwa bahwa tidak ada seorang pun yang tiba dalam interval waktu yang menyiratkan bahwa penghitungan jumlah kedatangan kami pada waktu t + x identik dengan penghitungan pada waktu t yang merupakan acara di sebelah kanan.$[t,t+x]$$t+x$$t$

Dengan aturan pelengkap, kami juga memiliki:

$P(X_t \le x) = 1 - P(X_t > x)$

Dengan menggunakan ekivalensi dari dua peristiwa yang kami jelaskan di atas, kita dapat menulis ulang di atas sebagai:

$P(X_t \le x) = 1 - P(N_{t+x} - N_t = 0)$

Tapi,

$P(N_{t+x} - N_t = 0) = P(N_x = 0)$

Menggunakan poisson pmf di atas di mana adalah jumlah rata-rata kedatangan per unit waktu dan x jumlah unit waktu, menyederhanakan untuk:$\lambda$$x$

$P(N_{t+x} - N_t = 0) = \frac{(\lambda x)^0}{0!}e^{-\lambda x}$

yaitu

$P(N_{t+x} - N_t = 0) = e^{-\lambda x}$

Mengganti dalam eqn asli kami, kami memiliki:

$P(X_t \le x) = 1 - e^{-\lambda x}$

Di atas adalah cdf pdf eksponensial.

$\lambda$

$L$

$P(L \gt t) = P(\text{no hits in time t})=\frac{\Lambda^0e^{-\Lambda}}{0!}=e^{-\lambda t}$$\Lambda = \lambda t$

$P(L \le t) = 1 - e^{-\lambda t}$

Setiap variabel acak yang memiliki fungsi kerapatan seperti ini dikatakan terdistribusi secara eksponensial.

Jawaban lain melakukan pekerjaan dengan baik dalam menjelaskan matematika. Saya pikir ini membantu untuk mempertimbangkan contoh fisik. Ketika saya memikirkan proses Poisson, saya selalu kembali ke ide mobil yang melintas di jalan. Lambda adalah jumlah rata-rata mobil yang lulus per unit waktu, katakanlah 60 / jam (lambda = 60). Kita tahu, bagaimanapun, bahwa jumlah aktual akan bervariasi - beberapa hari lebih banyak, beberapa hari lebih sedikit. Distribusi Poisson memungkinkan kita untuk memodelkan variabilitas ini.

Sekarang, rata-rata 60 mobil per jam sama dengan rata-rata 1 mobil yang lewat setiap menit. Sekali lagi, kami tahu akan ada variabilitas dalam jumlah waktu antara kedatangan: Terkadang lebih dari 1 menit; lain kali lebih sedikit. Distribusi Eksponensial memungkinkan kita untuk memodelkan variabilitas ini.

Semua yang dikatakan, mobil yang lewat di jalan tidak selalu mengikuti Proses Poisson. Jika ada sinyal lalu lintas di sekitar sudut, misalnya, kedatangan akan dikumpulkan bukan stabil. Di jalan raya yang terbuka, sebuah traktor-trailer yang lambat mungkin menahan barisan panjang mobil, lagi-lagi menyebabkan pengelompokan. Dalam kasus ini, Distribusi Poisson mungkin masih berfungsi baik untuk periode waktu yang lebih lama, tetapi eksponensial akan gagal buruk dalam memodelkan waktu kedatangan.

Perhatikan juga bahwa ada variasi yang sangat besar berdasarkan waktu hari: lebih sibuk selama waktu perjalanan; jauh lebih lambat jam 3 pagi. Pastikan lambda Anda mencerminkan periode waktu tertentu yang Anda pertimbangkan.

Distribusi Poisson biasanya berasal dari Distribusi Binomial (keduanya diskrit). Ini akan Anda temukan di Wiki.

Namun, distribusi Poisson (diskrit) juga dapat diturunkan dari Distribusi Eksponensial (berkelanjutan).

Saya telah menambahkan buktinya ke Wiki (tautan di bawah):

https://en.wikipedia.org/wiki/Talk:Poisson_distribution/Archive_1#Derivation_of_the_Poisson_Distribution_from_the_Exponential_Distribution