Pandangan sistem dinamis dari Central Limit Theorem?

(Awalnya diposting di MSE.)

Saya telah melihat banyak diskusi heuristik tentang teorema limit sentral klasik yang berbicara tentang distribusi normal (atau distribusi stabil mana pun) sebagai "penarik" dalam ruang kepadatan probabilitas. Sebagai contoh, perhatikan kalimat-kalimat ini di bagian atas perawatan Wikipedia :

Dalam penggunaan yang lebih umum, teorema limit pusat adalah sekumpulan teorema konvergensi lemah dalam teori probabilitas. Mereka semua mengungkapkan fakta bahwa sejumlah banyak variabel acak independen dan terdistribusi secara identik (iid), atau sebagai alternatif, variabel acak dengan jenis ketergantungan tertentu, akan cenderung didistribusikan menurut salah satu dari set kecil distribusi penarik . Ketika varians dari variabel id terbatas, distribusi penarik adalah distribusi normal.

Bahasa sistem dinamis ini sangat sugestif. Feller juga berbicara tentang "daya tarik" dalam perawatannya terhadap CLT dalam volume keduanya (saya ingin tahu apakah itu adalah sumber bahasanya), dan Yuval Flimus dalam catatan ini bahkan berbicara tentang "baskom daya tarik". (Saya tidak berpikir dia benar-benar berarti "bentuk yang tepat dari lembah tarik-menarik dapat dikurangkan sebelumnya" melainkan "bentuk penarik yang tepat dapat dikurangkan sebelumnya"; masih, bahasanya ada di sana.) Pertanyaan saya adalah: bisakah ini analogi dinamis dibuat tepat?Saya tidak tahu buku di mana mereka - meskipun banyak buku membuat titik menekankan bahwa distribusi normal adalah khusus untuk stabilitas di bawah konvolusi (serta stabilitasnya di bawah transformasi Fourier). Ini pada dasarnya memberitahu kita bahwa yang normal itu penting karena itu adalah titik yang tetap. CLT melangkah lebih jauh, memberi tahu kami bahwa ini bukan hanya titik tetap tetapi juga sebagai penarik.

Untuk membuat gambar geometris ini tepat, saya membayangkan mengambil ruang fase menjadi ruang fungsi tak-berdimensi yang sesuai (ruang kerapatan probabilitas) dan operator evolusi untuk diulang konvolusi dengan kondisi awal. Tetapi saya tidak memiliki perasaan teknis yang terlibat dalam membuat gambar ini berfungsi atau apakah itu layak dikejar.

Saya akan menebak bahwa karena saya tidak dapat menemukan perawatan yang mengejar pendekatan ini secara eksplisit, pasti ada sesuatu yang salah dengan perasaan saya bahwa itu dapat dilakukan atau itu akan menarik. Jika itu masalahnya, saya ingin mendengar alasannya.

EDIT : Ada tiga pertanyaan serupa di seluruh Math Stack Exchange dan MathOverflow yang mungkin menarik bagi pembaca:

• Distribusi Gaussian sebagai titik tetap di Some distribution space (MO)
• Teorema batas pusat melalui entropi maksimal (MO)
• Apakah ada bukti untuk teorema limit pusat melalui beberapa teorema titik tetap? (MSE)

Setelah melakukan beberapa penggalian dalam literatur, didorong oleh jawaban Kjetil, saya telah menemukan beberapa referensi yang menganggap serius pendekatan sistem geometris / dinamis pada CLT, selain buku oleh Y. Sinai. Saya memposting apa yang saya temukan untuk orang lain yang mungkin tertarik, tetapi saya harap masih mendengar dari seorang ahli tentang nilai dari sudut pandang ini.

Pengaruh paling signifikan tampaknya berasal dari karya Charles Stein. Tetapi jawaban paling langsung untuk pertanyaan saya tampaknya dari Hamedani dan Walter, yang menempatkan metrik pada ruang fungsi distribusi dan menunjukkan bahwa konvolusi menghasilkan kontraksi, yang menghasilkan distribusi normal sebagai titik tetap yang unik.

• M. Anshelevich, Linearisasi operator batas pusat dalam teori probabilitas bebas , arXiv: math / 9810047v2.
• LHY Chen, L. Goldstein, dan Q. Shao, Perkiraan Normal oleh Stein's Method , Springer, 2011.
• JA Goldstein, bukti teoritik Semigroup dari teorema limit pusat dan teorema analisis lainnya , Forum Semigroup 12 (1976), no. 3, 189–206.
• GG Hamedani dan GG Walter, Teorema titik tetap dan penerapannya pada teorema limit pusat , Arch. Matematika (Basel) 43 (1984), no. 3, 258–264.
• S. Swaminathan, bukti teori titik-Tetap dari teorema batas pusat, dalam Teori dan Aplikasi Titik Tetap (Marseille, 1989), Pitman Res. Catatan Matematika. Ser., Vol. 252, Longman Sci. Tech., Harlow, 1991, hlm. 391–396. Dikutip dalam Karl Stromberg, Probability for Analysts, halaman 114 .

TAMBAH 19 Oktober 2018.

Sumber lain untuk sudut pandang ini adalah Probabilitas dan Proses Stochastic dengan Oliver Knill dengan Aplikasi , hal. 11 (penekanan ditambahkan):

$P$$f_y$$f_{\overline{Y+X}}$$\overline{Y+X}$$Y + X$$0$$1$$f= 1$$P^n(f_X)$$S^{*}_n$$n$$X_i$$1$$0$$P$ $\mathcal{L}^1$. Ini berfungsi dalam situasi lain juga. Untuk variabel acak bernilai lingkaran misalnya, distribusi seragam memaksimalkan entropi. Oleh karena itu tidak mengherankan, bahwa ada teorema batas pusat untuk variabel acak bernilai lingkaran dengan distribusi seragam sebagai distribusi pembatas.

Teks "Probability Theory An Introductory Course" oleh Y Sinai (Springer) membahas CLT dengan cara ini.

http://www.springer.com/us/book/9783662028452

Idenya adalah (dari ingatan ...) itu

$A(x_1,x_2) = \frac{x_1+x_2}{\sqrt{2}}$