Terikat pada fungsi pembangkit momen

Pertanyaan ini muncul dari pertanyaan yang diajukan di sini tentang fungsi menghasilkan momen terikat (MGF).

Misalkan adalah variabel acak nol-rata-rata terikat yang mengambil nilai dalam dan biarkan menjadi MGF-nya. Dari batasan yang digunakan dalam bukti Ketimpangan Hoeffding , kita mendapatkan bahwa mana sisi kanan dikenali sebagai MGF dari variabel acak normal rata-rata nol dengan standar deviasi . Sekarang, standar deviasi tidak boleh lebih besar dari , dengan nilai maksimum yang terjadi ketika adalah variabel acak diskrit sehingga $X$ $[-\sigma, \sigma]$ $G(t) = E[e^{tX}]$

G (t) = E [e^{t X}] \leq e^{σ^{2} t^{2} / 2}

$G(t) = E[e^{tX}] \leq e^{\sigma^2t^2/2}$

σ

$\sigma$

X

$X$

σ

$\sigma$

X

$X$

P {X = σ} = P {X = - σ} = \frac{1}{2}

$P\{X = \sigma\} = P\{X = -\sigma\} = \frac{1}{2}$ . Jadi, batas yang dimaksud dapat dianggap sebagai mengatakan bahwa MGF dari variabel acak terikat rerata-nol

X

$X$ dibatasi di atas oleh MGF dari variabel acak normal rerata-nol yang standar deviasinya sama dengan standar deviasi maksimum yang mungkin

X

$X$ dapat memiliki.

Pertanyaan saya adalah: apakah ini hasil yang terkenal dari kepentingan independen yang digunakan di tempat-tempat selain dalam bukti Ketimpangan Hoeffding, dan jika demikian, apakah itu juga diketahui meluas ke variabel acak dengan cara bukan nol?

$[a,b]$ $X$ $a < 0 < b$ $E[X] = 0$

G (t) \leq e^{t^{2} (b - Sebuah)^{2} / 8} = e^{t^{2} σ_{m Sebuah x}^{2} / 2}

$G(t) \leq e^{t^2(b-a)^2/8} = e^{t^2\sigma_{max}^2/2}$

σ_{max} = (b - a) / 2

$\sigma_{\max} = (b-a)/2$

[a, b]

$[a,b]$

b = - a

$b = -a$

probability probability-inequalities mgf

— Dilip Sarwate
sumber

Variabel acak yang memenuhi batas pada mgf seperti yang Anda kutip disebut variabel acak subgausia . Mereka memainkan peran sentral, misalnya, dalam teori matriks acak nonasimptotik dan beberapa hasil terkait dalam penginderaan terkompresi. Lihat, misalnya, tautan dalam jawaban di sini . (Ini jelas tidak berbicara dengan pertanyaan khusus Anda; tetapi, itu sifatnya terkait.)

— kardinal

Saya tidak bisa menjawab bagian pertama dari pertanyaan Anda, tetapi untuk memperluasnya ke variabel acak dengan nol berarti ...

$Z$ $[a+\mu,b+\mu]$ $\mu$ $X = Z-\mu$ $[a,b]$ $\phi_X(t) = \exp\{-\mu t\}\phi_Z(t)$ $\exp\{\mu t\}$

$\phi_Z(t) = \exp\{\mu t\}\phi_X(t) \leq \exp\{\mu t\}\exp\{t^2\sigma^2_\text{max}/2\} = \exp\{\mu t + t^2\sigma^2_\text{max}/2\}$

$\sigma_\text{max}$

— Jbowman
sumber