Transformasi distribusi Fourier

Distribusi mana yang merupakan transformasi Fourier mereka sendiri di samping distribusi normal dan distribusi arcsine umum ?

distributions fourier-transform

— Neil G
sumber

Misalkan transformasi Fourier dari $x(t)$ adalah $X(f)$ mana

X (f) = \int_{- \infty}^{\infty} x (t) \exp (- i 2 π f t) d t

$X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) \exp(-i2\pi f t) \mathrm dt$ mana

i = \sqrt{- 1}

$i = \sqrt{-1}$ . Transformasi terbalik adalah

x (t) = \int_{- \infty}^{\infty} X (f) \exp (i 2 π f t) d f

$x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} X(f) \exp(i2\pi f t) \mathrm df$

Beberapa properti dari transformasi Fourier adalah sebagai berikut:

Transformasi Fourier dari $X(t)$ adalah $x(-f)$
Jika $x(t)$ adalah fungsi genap bernilai nyata dari $t$ , maka $X(f)$ adalah fungsi genap nilai riil dari $f$ .

Jadi, jika adalah fungsi genap bernilai nyata dari , maka transformasi Fourier dari fungsi genap nilai riil adalah $x(t)$ $t$ $X(t)$ $x(f)$

Sekarang anggaplah adalah fungsi densitas probabilitas genap (sehingga untuk semua ) dengan properti tambahan yang . Misalkan juga transformasi Fourier memiliki properti yang untuk semua . Kemudian, karena adalah fungsi bernilai riil bahkan non-negatif dari dengan area , yang adalah, juga merupakan fungsi kerapatan probabilitas dengan properti yang $x(t)$ $x(t) \geq 0$ $t$ $x(0) = 1$ $X(f)$ $X(f) \geq 0$ $f$

x (0) = 1 = \int_{- \infty}^{\infty} X (f) d f

$x(0) = 1 = \int_{-\infty}^{\infty} X(f) \mathrm df$

X (f)

$X(f)$

f

$f$

1

$1$

X (f)

$X(f)$

X (0) = 1

$X(0) = 1$ . Salah satu contoh dari sepasang fungsi tersebut adalah distribusi normal yang dikutip oleh OP Neil G dan contoh lain adalah

x_{1} (t) = \exp (- π t^{2}), X_{1} (f) = \exp (- π f^{2})

$x_1(t) = \exp(-\pi t^2), ~~ X_1(f) = \exp(-\pi f^2)$

x_{2} (t) = (1 - | t |) 1_{[- 1, 1]}, X_{2} (f) = {sinc}^{2} (f) = {\begin{cases} {(\frac{\sin (π f)}{π f})}^{2}, & f \neq 0, \\ 1, & f = 0. \end{cases}

$x_2(t) = (1 - |t|)\mathbf 1_{[-1,1]}, ~~ X_2(f) = \operatorname{sinc}^2(f) = \begin{cases}\displaystyle \left(\frac{\sin(\pi f)}{\pi f}\right)^2,&f\neq 0,\\ 1,&f=0.\end{cases}$

Sekarang perhatikan bahwa adalah kepadatan campuran yang transformasi adalah yang merupakan densitas campuran yang sama. $\frac{1}{2} x_2(t) + \frac{1}{2}X_2(t)$ $\frac{1}{2} X_2(f) + \frac{1}{2}x_2(f)$

Jadi, jika adalah fungsi kerapatan yang Fourier transform adalah fungsi kerapatan, maka fungsi kerapatan campuran adalah transformasi Fourier-nya sendiri. $x(t)$ $X(f)$ $\frac{1}{2} x(t) + \frac{1}{2}X(t)$

Akhirnya, diberikan dua kepadatan yang transformasi Fourier mereka sendiri, misalnya dan , setiap kepadatan campuran mana adalah fungsi kerapatan yang merupakan transformasi Fourier-nya sendiri. $x_1(t)$ $\frac{1}{2} x_2(t) + \frac{1}{2}X_2(t)$

α x_{1} (t) + (1 - α) [\frac{1}{2} x_{2} (t) + \frac{1}{2} X_{2} (t)]

$\alpha x_1(t) + (1-\alpha)\left[\frac{1}{2} x_2(t) + \frac{1}{2}X_2(t)\right]$

α \in [0, 1]

$\alpha \in [0,1]$

— Dilip Sarwate
sumber

(+1) Ini cukup pintar. Perlu dicatat bahwa untuk menjamin pasangan transformasi yang valid, kita memerlukan kondisi keterpaduan pada . Yaitu, akan menjamin bahwa inversi yang dinyatakan akan memulihkan kepadatan yang sesuai. Dalam arti tertentu Anda menggunakan kondisi seperti itu nanti. (Saya sudah mengasumsikan kendala nonnegativitas pada telah dikenakan, sehingga tidak perlu modulus.)

X (f)

$X(f)$

\int_{- \infty}^{\infty} X (f) d f < \infty

$\int_{-\infty}^\infty X(f) \,\mathrm{d}f < \infty$

X (f)

$X(f)$

— kardinal