Haruskah saya menggunakan binomial cdf atau cdf normal ketika membalik koin?

11

Koin perlu diuji keadilannya. 30 kepala muncul setelah 50 flips. Dengan asumsi koin itu adil, berapakah probabilitas bahwa Anda akan mendapatkan setidaknya 30 kepala dalam 50 membalik?

Cara yang tepat untuk melakukan masalah ini, menurut guru saya, adalah melakukan

normalcdf(min = .6, max = ∞, p = .5, σ = sqrt(.5 * .5 / 50) = 0.0786

Namun, saya mengambil fungsi distribusi kumulatif binomial seperti ini

1 - binomcdf(n = 50, p = .5, x = 29) = 0.1013

Saya percaya kriteria untuk distribusi binomial puas: peristiwa individu independen, hanya ada dua hasil yang mungkin (kepala vs ekor), probabilitasnya konstan untuk pertanyaan (0,5), dan jumlah uji coba ditetapkan pada 50 Namun jelas, kedua metode memberikan jawaban yang berbeda, dan simulasi mendukung jawaban saya (setidaknya beberapa kali saya menjalankannya; jelas, saya tidak dapat menjamin bahwa Anda akan mendapatkan hasil yang sama).

Apakah guru saya salah dalam mengasumsikan bahwa kurva distribusi Normal juga akan menjadi cara yang valid untuk melakukan masalah ini (tidak ada titik yang mengatakan bahwa distribusinya adalah Normal, tetapi n * p dan n * (1-p) keduanya lebih besar daripada 10), atau sudahkah saya salah mengerti tentang distribusi binomial?

self-study normal-distribution binomial

— waiwai933
sumber

5

Seseorang dengan pengalaman dalam menggunakan perkiraan Normal ke Binomial akan sedikit berbeda: mereka akan menerapkan koreksi kontinuitas (biasa) , seperti dalam 1 - pnorm((30-0.5)/50, mean=0.5, sd=sqrt(0.5*(1-0.5)/50))(ini adalah ekspresi R), yang nilainya 0,1015, dalam perjanjian yang cukup dekat dengan Binomial cdf .

— whuber

10

Berikut ini ilustrasi jawaban dari whuber dan onestop.

koreksi kontinuitas

$\mathcal Bin(50,0.5)$ $\mathcal N(25, 12.5)$ $\mathbb P(Y > 29.5)$ $Y \sim \mathcal N(25, 12.5)$

$\mathbb P(X=k)$ $X\sim\mathcal Bin(50,0.5)$ $\mathbb P\left( k -{1\over 2} < Y < k + {1\over 2}\right)$ $\mathbb P(X \ge 30)$ $\mathbb P(Y>29.5)$

P (Y > 29.5) ≃ 0.1015459,

$\mathbb P(Y>29.5) \simeq 0.1015459,$ 1-pnorm(29.5,25,sqrt(12.5))

P (X \geq 30) ≃ 0.1013194 :

$\mathbb P(X \ge 30) \simeq 0.1013194:$

$\mathbb P(X=22)$

\begin{aligned} P (X = 22) & = (\binom{50}{22}) {0.5}^{22} \cdot {0.5}^{28} ≃ 0.07882567, \\ P (21.5 < Y < 22.5) & ≃ 0.2397501 - 0.1610994 ≃ 0.07865066. \end{aligned}

$\begin{align*} \mathbb P(X=22) &= {50 \choose 22} 0.5^{22} \cdot 0.5^{28} \simeq 0.07882567, \\ \mathbb P(21.5 < Y < 22.5) & \simeq 0.2397501 - 0.1610994 \simeq 0.07865066.\end{align*}$

— Elvis
sumber

4

Distribusi normal memberikan perkiraan lebih dekat ke binomial jika Anda menggunakan koreksi kontinuitas . Menggunakan ini sebagai contoh Anda, saya mendapatkan 0,1015. Karena ini adalah pekerjaan rumah, saya akan menyerahkannya kepada Anda untuk mengisi rinciannya.

— onestop
sumber

4

Pertimbangkan ini. Dalam distribusi binomial diskrit, Anda memiliki probabilitas aktual untuk bilangan individu. Dalam normal terus menerus yang tidak terjadi, Anda memerlukan rentang nilai. Jadi ... jika Anda akan memperkirakan probabilitas nilai individual, katakanlah X, dari binomial dengan normal, bagaimana Anda melakukannya? Lihatlah histogram probabilitas distribusi binomial dengan kurva normal diletakkan di atasnya. Anda harus benar-benar memilih dari X ± 0,5 untuk menangkap sesuatu yang mirip dengan probabilitas binomial X dengan perkiraan normal.

Sekarang perpanjang itu ketika Anda memilih ekor distribusi. Ketika Anda menggunakan metode binomial Anda memilih probabilitas seluruh nilai Anda (30 dalam kasus Anda) ditambah semuanya lebih tinggi. Oleh karena itu, ketika Anda melakukan kontinu Anda harus memastikan Anda menangkapnya dan memilih 0,5 lebih sedikit juga, sehingga cutoff pada distribusi kontinu adalah 29,5.

— John
sumber

3

Sebenarnya, pertanyaan itu menunjukkan pemahaman yang bijaksana tentang masalah dan tampaknya tidak mencari jawaban untuk pertanyaan pekerjaan rumah yang rutin. Meskipun ini pekerjaan rumah yang ditandai , pertimbangkan untuk membuat pengecualian di sini. Khususnya, diskusi yang baik tentang penggunaan distribusi Normal untuk memperkirakan distribusi diskrit (seperti Binomial dan Poisson dengan N besar) akan sesuai dan paling disambut di sini.

— whuber