Nilai yang diharapkan dari rasio maksimum dan variabel normal


10

Misalkan yang IID dari dan membiarkan menyatakan 'th elemen terkecil dari . Bagaimana seseorang dapat mengikat maksimum yang diharapkan dari rasio antara dua elemen berturut-turut dalam ? Artinya, bagaimana Anda bisa menghitung upperbound pada:X1,...,XnN(μ,σ2)X(i)iX1,...,XnX(i)

E[maxi=1,...,n1(X(i+1)X(i))]

Literatur yang telah saya dapat temukan sebagian besar difokuskan pada rasio antara dua variabel acak yang menghasilkan distribusi rasio yang pdf untuk dua distribusi normal tidak berkorelasi diberikan di sini: https://en.wikipedia.org/wiki/ Ratio_distribution # Gaussian_ratio_distribution . Meskipun ini akan memungkinkan saya untuk mengungguli rasio rata-rata yang diharapkan dari n variabel, saya tidak bisa melihat bagaimana menggeneralisasi konsep ini untuk menemukan rasio maksimum yang diharapkan dari n variabel.


Seperti yang dicatat oleh whuber di bawah ini, ekspektasi rasio dua statistik urutan berurutan tidak bertemu. Tetapi jika itu benar, atau jika Anda tertarik pada perbedaan mereka, katakanlah
E[maxi=1,...,n1(X(i+1)X(i))]
... masalah sebenarnya harus disederhanakan untuk menemukan rasio (atau perbedaan, seperti kasusnya) dari dua statistik pesanan TERBESAR yaitu
E[X(n)X(n1)]
... hanya dari bentuk ekor Normal.
serigala

Jawaban:


7

Harapannya tidak ditentukan.

Biarkan menjadi iid menurut setiap distribusi dengan properti berikut: ada bilangan positif dan positif sedemikian rupa sehinggaXiFhϵ

(1)F(x)F(0)hx

untuk semua . Properti ini berlaku untuk setiap distribusi kontinu, seperti distribusi Normal, yang kepadatannya adalah kontinu dan bukan nol pada , untuk kemudian , memungkinkan kita untuk mengambil untuk nilai setiap tetap antara dan .0<x<ϵf0F(x)F(0)=f(0)x+o(x)h0f(0)

Untuk menyederhanakan analisis saya juga akan mengasumsikan dan , keduanya benar untuk semua distribusi Normal. (Yang terakhir dapat dijamin dengan menyelamatkan jika perlu. Yang pertama hanya digunakan untuk memungkinkan perkiraan sederhana dari probabilitas.)F(0)>01F(1)>0F

Biarkan dan mari kita melebih-lebihkan fungsi survival dari rasio sebagait>1

Pr(X(i+1)X(i)>t)=Pr(X(i+1)>tX(i))>Pr(X(i+1)>1, X(i)1/t)>Pr(X(i+1)>1, 1/tX(i)>0, 0X(i1)).

Probabilitas terakhir tersebut adalah peluang bahwa persisnya dari melebihi , tepat satu terletak pada interval , dan sisanya (jika ada) adalah non-positif. Dalam hal , peluang diberikan oleh ekspresi multinomialniXj1(0,1/t]i1F

(nni,1,i1)(1F(1))ni(F(1/t)F(0))F(0)i1.

Ketika , ketimpangan memberikan batas bawah untuk ini yang sebanding dengan , menunjukkan bahwat>1/ϵ(1)1/t

Fungsi survival dari , memiliki ekor yang berperilaku asimtotik seperti : yaitu, untuk beberapa angka positif .S(t)X(i+1)/X(i)1/tS(t)=a/t+o(1/t)a

Menurut definisi, ekspektasi variabel acak adalah ekspektasi bagian positifnya ditambah ekspektasi dari bagian negatifnya . Karena bagian positif dari harapan - jika ada - adalah bagian integral dari fungsi bertahan hidup (dari hingga ) danmax(X,0)max(X,0)0

0xS(t)dt=0x(1/t+o(1/t))dtlog(x),

bagian positif dari ekspektasi divergen.X(i+1)/X(i)

Argumen yang sama diterapkan pada variabel menunjukkan bagian negatif dari harapan yang menyimpang. Dengan demikian, ekspektasi rasio bahkan tidak terbatas: ia tidak terdefinisi.Xi


2
+1 Saya baru saja mencoba kasus 'sederhana' , dan mencoba mengevaluasi harapan ... dan sampai pada kesimpulan yang sama: bahwa integral harapan tidak menyatu. Mungkin OP akan mengajukan kembali pertanyaan dalam bentuk yang berbeda, seperti perbedaan daripada rasion=3
serigala
Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.