Nilai yang diharapkan dari rasio maksimum dan variabel normal

Misalkan yang IID dari dan membiarkan menyatakan 'th elemen terkecil dari . Bagaimana seseorang dapat mengikat maksimum yang diharapkan dari rasio antara dua elemen berturut-turut dalam ? Artinya, bagaimana Anda bisa menghitung upperbound pada: $X_1,...,X_n$ $N(\mu,\sigma^2)$ $X_{(i)}$ $i$ $X_1,...,X_n$ $X_{(i)}$

E [max_{i = 1, . . ., n - 1} (\frac{X_{(i + 1)}}{X_{(i)}})]

$E\left[\max\limits_{i=1,...,n-1}\left(\frac{X_{(i+1)}}{X_{(i)}}\right)\right]$

Literatur yang telah saya dapat temukan sebagian besar difokuskan pada rasio antara dua variabel acak yang menghasilkan distribusi rasio yang pdf untuk dua distribusi normal tidak berkorelasi diberikan di sini: https://en.wikipedia.org/wiki/ Ratio_distribution # Gaussian_ratio_distribution . Meskipun ini akan memungkinkan saya untuk mengungguli rasio rata-rata yang diharapkan dari $n$ variabel, saya tidak bisa melihat bagaimana menggeneralisasi konsep ini untuk menemukan rasio maksimum yang diharapkan dari $n$ variabel.

— Maks
sumber

Seperti yang dicatat oleh whuber di bawah ini, ekspektasi rasio dua statistik urutan berurutan tidak bertemu. Tetapi jika itu benar, atau jika Anda tertarik pada perbedaan mereka, katakanlah

E [max_{i = 1, . . ., n - 1} (X_{(i + 1)} - X_{(i)})]

$E\left[\max\limits_{i=1,...,n-1}\left(X_{(i+1)} - X_{(i)} \right)\right]$ ... masalah sebenarnya harus disederhanakan untuk menemukan rasio (atau perbedaan, seperti kasusnya) dari dua statistik pesanan TERBESAR yaitu

E [X_{(n)} - X_{(n - 1)}]

$E[X_{(n)} -X_{(n-1)}]$ ... hanya dari bentuk ekor Normal.

— serigala

Harapannya tidak ditentukan.

Biarkan menjadi iid menurut setiap distribusi dengan properti berikut: ada bilangan positif dan positif sedemikian rupa sehingga $X_i$ $F$ $h$ $\epsilon$

\begin{matrix} (1) & F (x) - F (0) \geq h x \end{matrix}

$F(x) - F(0) \ge h x\tag{1}$

untuk semua . Properti ini berlaku untuk setiap distribusi kontinu, seperti distribusi Normal, yang kepadatannya adalah kontinu dan bukan nol pada , untuk kemudian , memungkinkan kita untuk mengambil untuk nilai setiap tetap antara dan . $0 \lt x \lt \epsilon$ $f$ $0$ $F(x) - F(0) = f(0)x + o(x)$ $h$ $0$ $f(0)$

Untuk menyederhanakan analisis saya juga akan mengasumsikan dan , keduanya benar untuk semua distribusi Normal. (Yang terakhir dapat dijamin dengan menyelamatkan jika perlu. Yang pertama hanya digunakan untuk memungkinkan perkiraan sederhana dari probabilitas.) $F(0) \gt 0$ $1-F(1) \gt 0$ $F$

Biarkan dan mari kita melebih-lebihkan fungsi survival dari rasio sebagai $t \gt 1$

\begin{aligned} Pr (\frac{X_{(i + 1)}}{X_{(i)}} > t) & = Pr (X_{(i + 1)} > t X_{(i)}) \\ > Pr (X_{(i + 1)} > 1, X_{(i)} \leq 1 / t) \\ > Pr (X_{(i + 1)} > 1, 1 / t \geq X_{(i)} > 0, 0 \geq X_{(i - 1)}) . \end{aligned}

$\eqalign{ \Pr\left(\frac{X_{(i+1)}}{X_{(i)}} \gt t\right) &= \Pr(X_{(i+1)} \gt t X_{(i)}) \\ &\gt \Pr(X_{(i+1)}\gt 1,\ X_{(i)} \le 1/t) \\ &\gt \Pr(X_{(i+1)}\gt 1,\ 1/t \ge X_{(i)} \gt 0,\ 0 \ge X_{(i-1)}).}$

Probabilitas terakhir tersebut adalah peluang bahwa persisnya dari melebihi , tepat satu terletak pada interval , dan sisanya (jika ada) adalah non-positif. Dalam hal , peluang diberikan oleh ekspresi multinomial $n-i$ $X_j$ $1$ $(0,1/t]$ $i-1$ $F$

(\binom{n}{n - i, 1, i - 1}) (1 - F (1))^{n - i} (F (1 / t) - F (0)) F (0)^{i - 1} .

$\binom{n}{n-i,1,i-1}(1-F(1))^{n-i}(F(1/t)-F(0))F(0)^{i-1}.$

Ketika , ketimpangan memberikan batas bawah untuk ini yang sebanding dengan , menunjukkan bahwa $t \gt 1/\epsilon$ $(1)$ $1/t$

Fungsi survival dari , memiliki ekor yang berperilaku asimtotik seperti : yaitu, untuk beberapa angka positif . $S(t)$ $X_{(i+1)}/X_{(i)}$ $1/t$ $S(t) = a/t + o(1/t)$ $a$

Menurut definisi, ekspektasi variabel acak adalah ekspektasi bagian positifnya ditambah ekspektasi dari bagian negatifnya . Karena bagian positif dari harapan - jika ada - adalah bagian integral dari fungsi bertahan hidup (dari hingga ) dan $\max(X,0)$ $-\max(-X,0)$ $0$ $\infty$

\int_{0}^{x} S (t) d t = \int_{0}^{x} (1 / t + o (1 / t)) d t \propto \log (x),

$\int_0^x S(t) dt = \int_0^x (1/t + o(1/t))dt\; \propto\; \log(x),$

bagian positif dari ekspektasi divergen. $X_{(i+1)}/X_{(i)}$

Argumen yang sama diterapkan pada variabel menunjukkan bagian negatif dari harapan yang menyimpang. Dengan demikian, ekspektasi rasio bahkan tidak terbatas: ia tidak terdefinisi. $-X_i$

— whuber
sumber

+1 Saya baru saja mencoba kasus 'sederhana' , dan mencoba mengevaluasi harapan ... dan sampai pada kesimpulan yang sama: bahwa integral harapan tidak menyatu. Mungkin OP akan mengajukan kembali pertanyaan dalam bentuk yang berbeda, seperti perbedaan daripada rasio

n = 3

$n = 3$

— serigala