Apakah jumlah dua variabel tidak tergantung pada variabel ketiga, jika mereka sendiri?

9

Mengingat 3 variabel acak , dan . dan bersifat independen. dan bersifat independen. Secara intuitif saya akan berasumsi bahwa dan independen. Apakah ini masalahnya, dan bagaimana saya bisa membuktikannya secara formal? $X_1$ $X_2$ $Y$ $Y$ $X_1$ $Y$ $X_2$ $Y$ $X_1+X_2$

independence

— matthiash
sumber

2

Dimungkinkan untuk membuat X1, X2, Y sehingga kondisi di atas terpenuhi, tetapi Y adalah fungsi dari Z = (X1, X2): math.stackexchange.com/questions/1712177/…. Bertentangan dengan pernyataan jawaban: 'Y tidak tergantung pada Z '

— user233740

6

EDIT: Seperti yang ditunjukkan oleh pengguna lain, jawaban ini tidak benar karena membuat asumsi bahwa tidak bergantung pada $Y$ $(X_1,X_2)$

Perhatikan bahwa adalah fungsi dari karena jika Anda mengambil Anda mendapatkan . $X_1 + X_2$ $Z = (X_1,X_2)$

f (x, y) = x + y

$f(x,y) = x+y$

X_{1} + X_{2} = f (Z)

$X_1 + X_2 = f(Z)$

Ini adalah teorema probabilitas yang diketahui bahwa jika dan adalah variabel acak independen dan dan adalah fungsi yang dapat diukur maka adalah independen dari (Teorema 10.4 dari "Probabilitas: Kursus Pascasarjana" edisi ke-2. oleh Allan Gut). $R_1$ $R_2$ $f_1$ $f_2$ $f_1(R_1)$ $f_2(R_2)$

Karena dapat diukur dan Y tidak tergantung pada kita tahu bahwa juga tidak tergantung pada . Perhatikan bahwa kami menganggap sebagai fungsi identitas dan . $f$ $Z$ $Y$ $f(Z) = X_1 + X_2$ $f_1$ $f_2 = f$

— Mur1lo
sumber

3

Jawaban ini mengasumsikan tidak tergantung pada tetapi pertanyaan hanya mengasumsikan bahwa tidak tergantung pada masing - masing

Y

$Y$

(X_{1}, X_{2})

$(X_1,X_2)$

Y

$Y$

X_{i} .

$X_i.$

— whuber

3

(Untuk menyelesaikan utas ini, saya meninggikan komentar oleh user233740 menjadi jawaban.)

Pernyataan itu tidak benar.

Kemungkinan bahwa mungkin tidak independen dari sangat mengingatkan pada masalah buku teks yang sudah dikenal mengenai variabel acak yang berpasangan independen tetapi tidak independen. Dengan pemikiran itu dalam pikiran, mari kita pertimbangkan contoh sederhana seperti itu, yaitu memilih salah satu baris matriks ini secara seragam secara acak: $X_1+X_2$ $Y$ $(X_1,X_2,Y)$

(\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix}) .

$\pmatrix{0&0&0\\1&1&0\\1&0&1\\0&1&1}.$

Anda dapat melihat bahwa dua kolom menentukan variabel Bernoulli independen, tetapi ketiganya tidak independen karena yang ketiga dapat ditentukan dari dua lainnya. $(1/2)$

Mari kita pilih dua kolom ini, yang menandakannya dan dan biarkan menjadi yang ketiga. Perhatikan bahwa ketika bernilai atau (dengan probabilitas yang sama), tetapi ketika Dengan demikian fungsi probabilitas bersyarat tidak konstan, menunjukkan dan tidak independen. $X_1$ $X_2,$ $Y$ $Y=0,$ $X_1+X_2$ $0$ $2$ $Y=1,$ $X_1+X_2=1.$

Pr (X_{1} + X_{2} ∣ Y)

$\Pr(X_1+X_2\mid Y)$

X_{1} + X_{2}

$X_1+X_2$

Y

$Y$

— whuber
sumber