Korelasi antara sinus dan kosinus

Misalkan terdistribusi secara seragam pada . Mari dan . Tunjukkan bahwa korelasi antara dan adalah nol. $X$ $[0, 2\pi]$ $Y = \sin X$ $Z = \cos X$ $Y$ $Z$

Sepertinya saya perlu mengetahui standar deviasi sinus dan kosinus, dan kovarian mereka. Bagaimana saya bisa menghitung ini?

Saya pikir saya perlu mengasumsikan memiliki distribusi seragam, dan tampilan pada variabel yang diubah dan . Maka hukum ahli statistik yang tidak sadar akan memberikan nilai yang diharapkan $X$ $Y=\sin(X)$ $Z=\cos(X)$

E [Y] = \frac{1}{b - a} \int_{- \infty}^{\infty} \sin (x) d x

$E[Y] = \frac{1}{b-a}\int_{-\infty}^{\infty} \sin(x)dx$ dan

E [Z] = \frac{1}{b - a} \int_{- \infty}^{\infty} \cos (x) d x

$E[Z] = \frac{1}{b-a}\int_{-\infty}^{\infty} \cos(x)dx$

(Kepadatannya konstan karena ini adalah distribusi yang seragam, dan dengan demikian dapat dipindahkan keluar dari integral).

Namun, mereka integral tidak didefinisikan (tetapi memiliki nilai-nilai pokok Cauchy dari nol saya pikir).

Bagaimana saya bisa menyelesaikan masalah ini? Saya rasa saya tahu solusinya (korelasi adalah nol karena sinus dan cosinus memiliki fase yang berlawanan) tetapi saya tidak dapat menemukan cara untuk mendapatkannya.

— uklady
sumber

Seperti yang dinyatakan, masalah Anda tidak didefinisikan dengan cukup. Korelasi adalah konsep yang berlaku untuk variabel acak, bukan fungsi. (Secara formal, variabel acak adalah semacam fungsi, yaitu fungsi yang dapat diukur dari ruang probabilitas ke bilangan real yang dilengkapi dengan ukuran Borel. Tetapi hanya mengatakan "fungsi sinus" tidak memberi tahu Anda apa pun tentang ukuran probabilitas di domain, yang membuat Anda mendapatkan informasi probabilistik, termasuk distribusi bersama.)

— Kodiologist

Jika saya menganggap waktu adalah variabel acak seragam ( dalam teks saya), apakah tidak mungkin untuk melakukan ini? Maksud saya, saya kemudian akan melihat korelasi dari dua variabel acak yang diubah.

X

$X$

— uklady

Jadi Anda ingin didistribusikan secara seragam dan kemudian Anda mendefinisikan dan ? Tidak apa-apa kecuali Anda juga perlu menentukan dukungan kepadatan , karena tidak ada distribusi seragam di seluruh , atau interval lain yang sangat panjang.

X

$X$

Y = \sin X

$Y = \sin X$

Z = \cos X

$Z = \cos X$

X

$X$

ℝ

$ℝ$

— Kodiologist

Mungkin saya bisa menggunakan sebagai dukungan (saya akan mengasumsikan bahwa , sehingga intervalnya berisi satu siklus penuh). Saya kira masalah integrasi kemudian akan hilang juga

[0, 2 * p i]

$[0, 2*pi]$

f = 1

$f=1$

— uklady

Jika Anda melakukannya, maka Anda hanya perlu menggambar sebar - tidak diperlukan integrasi. Scatterplot adalah distribusi seragam pada lingkaran satuan (jelas). Karena lingkaran simetris di bawah refleksi melalui titik asal, korelasinya sama dengan negatifnya, di mana ia harus nol, QED .

— whuber

Sejak

\begin{aligned} Cov (Y, Z) & = E [(Y - E [Y]) (Z - E [Z])] \\ = E [(Y - \int_{0}^{2 π} \sin x d x) (Z - \int_{0}^{2 π} \cos x d x)] \\ = E [(Y - 0) (Z - 0)] \\ = E [Y Z] \\ = \int_{0}^{2 π} \sin x \cos x d x \\ = 0, \end{aligned}

$\begin{align} \operatorname{Cov}(Y, Z) &= E[(Y - E[Y])(Z - E[Z])] \\ &= E[(Y - {\textstyle \int}_0^{2\pi} \sin x \;dx)(Z - {\textstyle \int}_0^{2\pi} \cos x \;dx)] \\ &= E[(Y - 0)(Z - 0)] \\ &= E[YZ] \\ &= \int_0^{2\pi} \sin x \cos x \;dx \\ &= 0 , \end{align}$

korelasinya juga harus 0.

— Kodiologis
sumber

Saya sangat suka argumen @ whuber dari simetri dan tidak ingin itu hilang sebagai komentar, jadi inilah sedikit penjelasan.

Pertimbangkan vektor acak , di mana , dan , untuk . Kemudian, karena parameter parameter lingkaran satuan dengan panjang busur, didistribusikan secara seragam pada lingkaran satuan. Secara khusus, distribusi sama dengan distribusi . Tapi kemudian $(X, Y)$ $X = \cos(U)$ $Y = \sin(U)$ $U \sim U(0, 2 \pi)$ $\theta \mapsto (\cos(\theta), \sin(\theta))$ $(X, Y)$ $(-X, Y)$ $(X, Y)$

- Cov (X, Y) = Cov (- X, Y) = Cov (X, Y)

$- \text{Cov} (X, Y) = \text{Cov} (-X, Y) = \text{Cov} (X, Y)$

jadi itu harus . $\text{Cov} (X, Y) = 0$

Hanya argumen geometris yang indah.

— Matthew Drury
sumber