Kombinasi linear dari dua variabel acak normal multivariat dependen

Misalkan kita memiliki dua vektor variabel acak, keduanya normal, yaitu dan . Kami tertarik pada distribusi kombinasi linear mereka , di mana dan adalah matriks, adalah vektor. Jika dan bersifat independen, $X \sim N(\mu_X, \Sigma_X)$ $Y \sim N(\mu_Y, \Sigma_Y)$ $Z = A X + B Y + C$ $A$ $B$ $C$ $X$ $Y$ . Pertanyaannya adalah dalam kasus dependen, dengan asumsi bahwa kita mengetahui korelasi dari setiap pasangan . Terima kasih. $Z \sim N(A \mu_X + B \mu_Y + C, A \Sigma_X A^T + B \Sigma_Y B^T)$ $(X_i, Y_i)$

Salam hangat, Ivan

probability normal-distribution multinomial

— Ivan
sumber

Jawaban:

Dalam hal ini, Anda harus menulis (dengan notasi semoga jelas) ( diedit: dengan asumsi normalitas gabungan ) Kemudian dan

(\begin{matrix} X \\ Y \end{matrix}) \sim N [(\begin{matrix} μ_{X} \\ μ_{Y} \end{matrix}), Σ_{X, Y}]

$\left(\begin{matrix}X\\Y \end{matrix}\right) \sim \mathcal{N}\left[ \left(\begin{matrix}\mu_X\\\mu_Y\end{matrix}\right), \Sigma_{X,Y} \right]$

(X, Y)

$(X,Y)$

A X + B Y = (\begin{matrix} A & B \end{matrix}) (\begin{matrix} X \\ Y \end{matrix})

$AX+BY=\left(\begin{matrix}A& B \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}X\\Y \end{matrix}\right)$

yaitu

A X + B Y + C \sim N [(\begin{matrix} A & B \end{matrix}) (\begin{matrix} μ_{X} \\ μ_{Y} \end{matrix}) + C, (\begin{matrix} A & B \end{matrix}) Σ_{X, Y} (\begin{matrix} A^{T} \\ B^{T} \end{matrix})]

$AX+BY+C \sim \mathcal{N}\left[ \left(\begin{matrix}A& B \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}\mu_X\\\mu_Y\end{matrix}\right) + C, \left(\begin{matrix}A & B \end{matrix}\right)\Sigma_{X,Y} \left(\begin{matrix}A^T \\ B^T \end{matrix}\right)\right]$

A X + B Y + C \sim N [A μ_{X} + B μ_{Y} + C, A Σ_{X X} A^{T} + B Σ_{X Y}^{T} A^{T} + A Σ_{X Y} B^{T} + B Σ_{Y Y} B^{T}]

$AX+BY+C \sim \mathcal{N}\left[A\mu_X + B\mu_Y +C, A\Sigma_{XX}A^T+B\Sigma_{XY}^TA^T+A\Sigma_{XY}B^T+B\Sigma_{YY}B^T \right]$

— Xi'an
sumber

X

$X$

Y

$Y$

B Σ_{X Y}^{T} A^{T} + A Σ_{X Y} B^{T}

$B\Sigma_{XY}^TA^T+A\Sigma_{XY}B^T$

2 A Σ_{X Y} B^{T}

$2A\Sigma_{XY}B^T$

B Σ_{X Y}^{T} A^{T} + A Σ_{X Y} B^{T} = (A Σ_{X Y} B^{T})^{T} + A Σ_{X Y} B^{T}

$B\Sigma_{XY}^TA^T+A\Sigma_{XY}B^T = (A\Sigma_{XY}B^T)^T + A\Sigma_{XY}B^T$

Σ_{X Y}

$\Sigma_{XY}$

(i, j)

$(i,j)$

cov (X_{i}, Y_{j})

$\text{cov}(X_i,Y_j)$

(j, i)

$(j,i)$

cov (X_{j}, Y_{i})

$\text{cov}(X_j,Y_i)$

@DilipSarwate: (+1) Anda benar, dalam kasus umum, tidak ada alasan untuk kedua istilah ini sama.

— Xi'an

$X$ $Y$ $\Sigma_{XY}$ $W=(X^T,Y^T)^T$ $Z$ $W$

Z = (A, B) W + C

$Z=(A,B)W+C$

$A\Sigma_{XY}B^T+B\Sigma_{XY}^TA^T$

— probabilityislogic
sumber

Terima kasih telah menunjukkan masalah ini, pada kenyataannya, saya bahkan tidak memikirkannya, tetapi tampaknya variabel-variabel tersebut memang dapat dilihat, dalam kasus saya, secara normal terdistribusi bersama, bahkan jika komponen-komponennya berkorelasi.

— Ivan

X

$X$

Y

$Y$

cov (X_{i}, Y_{j})

$\text{cov}(X_i,Y_j)$

i, j

$i, j$ $W = (X^T,Y^T)^T$ . Setiap dua variabel acak dengan varians terbatas memiliki kovarians a. Kovarian tidak hanya didefinisikan untuk variabel acak normal atau bersama-sama normal.

— Dilip Sarwate

a^{T} X

$a^T X$

a

$a$

X \sim N (μ_{X}, Σ_{X})

$X\sim N(\mu_X,\Sigma_X)$

Y \sim N (μ_{Y}, Σ_{Y})

$Y\sim N(\mu_Y,\Sigma_Y)$

X

$X$

Y

$Y$

(X_{i}, Y_{i})

$(X_i,Y_i)$

X_{i}

$X_i$

Y_{i}

$Y_i$

X \sim N (μ_{X}, Σ_{X})

$X\sim N(\mu_X,\Sigma_X)$

X_{i}

$X_i$

Y_{i}

$Y_i$

@Ivan Lihat diskusi yang mengikuti pertanyaan ini

— Dilip Sarwate