Berarti distribusi eksponensial terbalik


11

Diberikan variabel acak , apa maksud dan varians dari ?Y=Exp(λ)G=1Y

Saya melihat Inverse Gamma Distribution, tetapi rerata dan varians masing-masing hanya didefinisikan untuk dan ...α>1α>2

Jawaban:


9

Mengingat bahwa distribusi eksponensial terbalik memiliki , Anda telah menemukan fakta bahwa rata-rata eksponensial terbalik adalah . Dan oleh karena itu, varian dari eksponensial terbalik tidak terdefinisi.α=1

Jika terbalik terdistribusi secara eksponensial, ada dan terbatas untuk , dan untuk .GE(Gr)r<1=r=1


Ini terkait dengan pertanyaan saya di sini
Diogo Santos

3

Saya akan menunjukkan perhitungan untuk rata-rata distribusi Eksponensial sehingga Anda akan mengingat pendekatannya. Lalu, saya akan pergi untuk eksponensial terbalik dengan pendekatan yang sama.

Diberikan fY(y)=λe-λy

E[Y]=0yfY(y)dy

=0yλe-λydy

=λ0ye-λydy

Mengintegrasikan per bagian (abaikan di depan integral untuk saat ini),λ

kamu=y,dv=e-λydy

dkamu=dy,v=-1λe-λy

=y-1λe-λy-0-1λe-λydy

=y-1λe-λy+1λ0e-λydy

=y-1λe-λy-1λ2e-λy

Kalikan dengan di depan integral,λ

=-ye-λy-1λe-λy

Evaluasi untuk dan ,0

=(0-0)-1λ(0-1)

=λ-1

Yang merupakan hasil yang diketahui.

Untuk , logika yang sama berlaku.G=1Y

E[G]=E[1Y]=01yfY(y)dy

=01yλe-λydy

=λ01ye-λydy

Perbedaan utama adalah bahwa untuk integrasi dengan bagian-bagian,

kamu=y-1

dan

dkamu=-1y-2

jadi itu tidak membantu kami untuk . Saya pikir integral tidak didefinisikan di sini. Wolfram alpha katakan padaku itu tidak konvergen.G=1y

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+from+0+to+infinity+(1%2Fx)+exp(-x)+dx

α=1α>2


1
exp(-λy)0y00ϵ1ydyϵ>0E[G]

0

Setelah simulasi cepat (dalam R), tampaknya rata-rata tidak ada: masukkan deskripsi gambar di sini

n<-1000
rates <- c(1,0.5,2,10)

par(mfrow = c(2,2))
for(rate in rates)
{
  plot(cumsum(1/rexp(n, rate))/seq(1,n),type='l',main = paste0("Rate = ",rate),
       xlab = "Sample size", ylab = "Empirical Mean")
}

Demi perbandingan, inilah yang terjadi dengan variabel acak eksponensial asli.

masukkan deskripsi gambar di sini


5
Mean tidak dapat ada karena eksponensial memiliki kepadatan positif di lingkungan nol.
whuber

@whuber memang, inilah yang saya coba tekankan: mean empiris tidak bertemu untuk kebalikan dari hukum eksponensial, sedangkan itu berlaku untuk hukum eksponensial.
RUser4512

5
10-1000

Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.