Dari distribusi seragam ke distribusi eksponensial dan sebaliknya

20

Ini mungkin pertanyaan sepele, tapi pencarian saya telah sia-sia sejauh ini, termasuk artikel wikipedia , dan "Kompendium Distribusi" dokumen .

Jika memiliki distribusi seragam, apakah ini berarti bahwa mengikuti distribusi eksponensial? $X$ $e^X$

Demikian pula, jika mengikuti distribusi eksponensial, apakah ini berarti mengikuti distribusi yang seragam? $Y$ $ln(Y)$

— luchonacho
sumber

3

Mengapa Anda berharap demikian? Karena namanya? Periksa en.wikipedia.org/wiki/… untuk melihat bagaimana distribusi lain terkait dengan eksponensial. Juga

\exp (X) \notin [0, \infty)

$\exp(X) \not\in [0, \infty)$ ...

— Tim

Tidak, saya pikir saya mengikuti analogi dengan transformasi fungsi standar, lupa bahwa dengan distribusi, semuanya berbeda.

— luchonacho

25

Ini bukan kasus bahwa eksponensial variabel acak seragam memberikan eksponensial, juga tidak mengambil log dari variabel acak eksponensial menghasilkan seragam.

Biarkan menjadi seragam pada dan biarkan . $U$ $(0,1)$ $X=\exp(U)$

$F_X(x) = P(X \leq x) = P(\exp(U)\leq x) = P(U\leq \ln x) = \ln x\,,\quad 1<x<e$

Jadi . $f_x(x) = \frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}\,,\quad 1<x<e$

Ini bukan varian eksponensial. Perhitungan serupa menunjukkan bahwa log eksponensial tidak seragam.

Biarkan menjadi eksponensial standar, jadi $Y$ . $F_Y(y)=P(Y\leq y) = 1-e^{-y}\,,\quad y>0$

Mari . Kemudian $V=\ln Y$ . $F_V(v) = P(V\leq v) = P(\ln Y\leq v) = P(Y\leq e^v) = 1-e^{-e^v}\,,\quad v<0$

Ini bukan seragam. (Memang adalah variabel acak berdistribusi Gumbel , sehingga Anda dapat menyebut distribusi sebagai 'flipped Gumbel'.) $-V$ $V$

Namun, dalam setiap kasus kita dapat melihatnya lebih cepat hanya dengan mempertimbangkan batasan pada variabel acak. Jika seragam (0,1) terletak di antara 0 dan 1 sehingga terletak di antara dan ... jadi itu bukan eksponensial. Demikian pula, untuk eksponensial, adalah pada , sehingga tidak dapat seragam (0,1), atau memang setiap seragam lainnya. $U$ $X=\exp(U)$ $1$ $e$ $Y$ $\ln Y$ $(-\infty,\infty)$

Kami juga dapat mensimulasikan, dan melihatnya lagi:

Pertama, mengekspansi seragam -

[kurva biru adalah densitas (1 / x pada interval yang ditunjukkan) kami bekerja di atas ...]

Kedua, log eksponensial:

Yang bisa kita lihat jauh dari seragam! (Jika kita membedakan cdf yang kami kerjakan sebelumnya, yang akan memberikan kepadatan, itu cocok dengan bentuk yang kita lihat di sini.)

Memang metode invers cdf menunjukkan bahwa mengambil negatif dari log seragam (0,1) variate memberikan varian eksponensial standar, dan sebaliknya, eksponensial negatif dari eksponensial standar memberikan seragam. [Juga lihat probabilitas integral transformasi ]

$U=F_Y(Y)$ $Y = F^{-1}(U)$ $U$ $F_Y$

$U$ $P(U\leq u) = u$ $Y=-\ln (1-U)$ $1-U$ $Y=-\ln U$

$P(Y\leq y) = P(-\ln (1-U) \leq y) = P( 1-U \geq e^{-y}) = P( U \leq 1-e^{-y}) = 1-e^{-y}$

$\log$

— Glen_b -Reinstate Monica
sumber

Jawaban bagus! Terima kasih. Saya melihatnya sekarang. Saya menghitung CDF di kedua kasus, dan saya mendapatkan negatif dari log di kasus sebelumnya dan nilai absolut dari invers, di yang terakhir. Saya pikir kebingungan saya adalah berpikir dalam hal transformasi fungsi standar, yang tidak menindaklanjuti ketika datang ke distribusi. +1 untuk grafik!

— luchonacho

6

Anda hampir memilikinya kembali ke depan. Kamu bertanya:

$X$ $e^X$
$Y$ $\ln(Y)$

Faktanya

$X$ $[0,1]$ $-\log_e(X)$ $1$
$Y$ $1$ $e^{-Y}$ $[0,1]$

Secara umum bisa dikatakan:

$X$ $[a,b]$ $-\frac1k \log_e\left(\frac{X-a}{b-a}\right)$ $k$
$Y$ $k$ $e^{-kY}$ $[0,1]$ $a+(b-a)e^{-kY}$ $[a,b]$

— Henry
sumber