Variabel acak dimana Markov, Chebyshev ketidaksetaraannya ketat

9

Saya tertarik untuk membangun variabel acak yang ketidaksamaan Markov atau Chebyshev sangat ketat.

Contoh sepele adalah variabel acak berikut.

$P(X=1)=P(X=-1) = 0.5$ . Mean-nya adalah nol, varians adalah 1 dan . Untuk variabel acak ini chebyshev ketat (berlaku dengan kesetaraan). $P(|X| \ge 1) = 1$

P (| X | \geq 1) \leq \frac{Var (X)}{1^{2}} = 1

$P(|X|\ge 1) \le \frac{\text{Var}(X)}{1^2} = 1$

Apakah ada variabel acak yang lebih menarik (tidak seragam) dengan Markov dan Chebyshev yang ketat? Beberapa contoh akan bagus.

— SPV
sumber

5

Kelas distribusi yang menjadi pegangan kasus pembatasan Chebyshev diketahui (dan tidak sulit untuk hanya menebak). Dinormalisasi untuk lokasi dan skala itu

Z = {\begin{cases} - k, & dengan probabilitas \frac{1}{2 k^{2}} \\ 0, & dengan probabilitas 1 - \frac{1}{k^{2}} \\ k, & dengan probabilitas \frac{1}{2 k^{2}} \end{cases}

$Z=\begin{cases}-k,&{\text{with probability }}{\:\frac {1}{2k^2}}\\\:0,&{\text{with probability }}1-\frac {1}{k^2}\\\:k,&{\text{with probability }}{\:\frac {1}{2k^2}}\end{cases}$

Ini (hingga skala) solusi yang diberikan di halaman Wikipedia untuk ketidaksetaraan Chebyshev .

[Anda dapat menulis urutan distribusi (dengan menempatkan lebih banyak probabilitas di pusat dengan yang sama dihapus secara merata dari titik akhir) yang benar-benar memenuhi ketidaksetaraan dan pendekatan yang membatasi kasing sedekat yang diinginkan.] $\epsilon>0$

Solusi lain dapat diperoleh dengan lokasi dan skala pergeseran ini: Misalkan . $X=\mu+\sigma Z$

Untuk ketimpangan Markov, misalkanjadi Anda memiliki probabilitas pada 0 dan pada . (Seseorang dapat memperkenalkan parameter skala di sini tetapi bukan parameter lokasi) $Y=|Z|$ $1-1/k^2$ $1/k^2$ $k$

Ketidaksetaraan saat - dan memang banyak ketidaksetaraan serupa lainnya - cenderung memiliki distribusi diskrit sebagai kasus yang membatasi mereka.

— Glen_b -Reinstate Monica
sumber

2

Saya percaya bahwa mendapatkan distribusi terus menerus atas seluruh sumbu nyata yang mengikuti batas Chebyshev mungkin tidak mungkin.

$P(\mid X\mid >x)=1/x^2$ $x>0$ $1-1/x^2$ $2/x^3$ $x>0$ $\mid x \mid <\alpha$ $\mid x \mid^3$ $\mid x\mid \geq \alpha$

$x$ $x^2$ $x^{-3}$ $E[x]$ $E[x^2]$

$P(\mid X \mid > x ) = x^{-(2+\epsilon)}$ $\epsilon$ $x^{-(3+\epsilon)}$ $1/\epsilon$

$pdf(x) = 2/\mid x \mid^3$ $\epsilon < \mid x \mid < \Lambda$

ϵ = \sqrt{2 (1 - \frac{1}{\sqrt{e}})}

$\epsilon = \sqrt{2 \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{e}} \right) }$

Λ = ϵ = \sqrt{2 (\sqrt{e} - 1)}

$\Lambda = \epsilon = \sqrt{2 \left( \sqrt{e} - 1 \right) }$

0.887 < | x | < 1.39

$0.887 < |x| < 1.39$

— jwimberley
sumber

Saya tidak berpikir sulit untuk membuktikan bahwa tidak ada variabel kontinu dukungan tak terbatas dapat mencapai batas bawah

— MichaelChirico

@MichaelChirico Saya juga tidak berpikir begitu; Aku hanya tidak ingin melalui upaya itu.

— jwimberley