Apakah mean = mode menyiratkan distribusi simetris?

Saya tahu pertanyaan ini telah ditanyakan dengan case mean = median, tapi saya tidak menemukan apa pun yang berhubungan dengan mean = mode.

Jika mode sama dengan mean, bisakah saya selalu menyimpulkan ini adalah distribusi simetris? Apakah saya akan dipaksa untuk mengetahui juga median untuk cara ini?

Mean = mode tidak menyiratkan simetri.

Bahkan jika mean = median = mode Anda masih belum memiliki simetri.

Dan untuk mengantisipasi tindak lanjut potensial - bahkan jika mean = median = mode dan momen pusat ketiga adalah nol (jadi momen-skewness adalah 0), Anda masih belum tentu memiliki simetri.

... tapi ada tindak lanjut untuk yang itu. NickT bertanya dalam komentar jika memiliki semua momen ganjil nol sudah cukup untuk membutuhkan simetri. Jawabannya juga tidak. [Lihat diskusi di bagian akhir. † ]$^\dagger$

Berbagai hal tersebut semuanya tersirat oleh simetri (dengan asumsi saat-saat yang relevan terbatas) tetapi implikasinya tidak berlawanan - meskipun banyak teks elementer yang dengan jelas mengatakan sebaliknya tentang satu atau lebih dari itu.

Contoh tandingan cukup sepele untuk dikonstruksi.

Pertimbangkan distribusi diskrit berikut:

  x     -4    0    1    5
P(X=x)  0.2  0.4  0.3  0.1

Ini memiliki mean, median, mode dan momen sentral ketiga (dan karenanya skewness momen) semua 0 tetapi asimetris.

Contoh semacam ini dapat dilakukan dengan distribusi yang berkelanjutan murni juga. Misalnya, inilah kepadatan dengan properti yang sama:

Ini adalah campuran dari kepadatan segitiga simetris (masing-masing dengan kisaran 2) dengan rata-rata pada -6, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 5 dan campuran bobot 0,08, 0,08, 0,12, 0,08, 0,28, 0,08 , 0,08, 0,20 masing-masing. Fakta bahwa saya baru saja membuat ini sekarang - belum pernah melihatnya sebelumnya - menunjukkan betapa mudahnya membangun kasus-kasus ini.

[Saya memilih komponen campuran segitiga agar mode tidak ambigu secara visual - distribusi yang lebih halus bisa digunakan.]

Berikut adalah contoh diskrit tambahan untuk menjawab pertanyaan Hong Ooi tentang seberapa jauh dari kesimetrian kondisi ini memungkinkan Anda untuk mendapatkannya. Ini sama sekali bukan kasus pembatas, itu hanya menggambarkan bahwa itu sederhana untuk membuat contoh yang terlihat kurang simetris:

   x    -2    0    1    6
P(X=x) 0.175 0.5  0.32 0.005

Lonjakan pada 0 dapat dibuat relatif lebih tinggi atau lebih rendah tanpa mengubah kondisi; sama halnya titik keluar ke kanan dapat ditempatkan lebih jauh (dengan pengurangan probabilitas) tanpa mengubah ketinggian relatif pada 1 dan -2 banyak (yaitu probabilitas relatif mereka akan tetap dekat dengan rasio 2: 1 saat Anda bergerak paling kanan elemen tentang).

Lebih detail tentang tanggapan terhadap pertanyaan NickT

$\dagger$

Saya tidak akan menyebut distribusi itu simetris.

Tidak.

$X$$p(X = -2) = \tfrac{1}{6}$$p(X = 0) = \tfrac{1}{2}$$p(X = 1) = \tfrac{1}{3}$$X$

Untuk mengulangi jawaban yang saya berikan di tempat lain , tetapi juga cocok di sini:

yang tidak hanya memiliki rata-rata, median dan mode semua sama, tetapi juga memiliki nol kemiringan. Banyak versi lain dimungkinkan.