Apakah AR (1) proses Markov?

Apakah proses AR (1) seperti $y_t=\rho y_{t-1}+\varepsilon_t$ merupakan proses Markov?

Jika ya, maka VAR (1) adalah versi vektor dari proses Markov?

time-series

— Babi terbang
sumber

Jawaban:

Hasil berikut ini berlaku: Jika adalah independen mengambil nilai dalam dan adalah fungsi kemudian dengan didefinisikan secara rekursif sebagai $\epsilon_1, \epsilon_2, \ldots$ $E$ $f_1, f_2, \ldots$ $f_n: F \times E \to F$ $X_n$

X_{n} = f_{n} (X_{n - 1}, ϵ_{n}), X_{0} = x_{0} \in F

$X_n = f_n(X_{n-1}, \epsilon_n), \quad X_0 = x_0 \in F$

proses dalam adalah proses Markov mulai dari . Prosesnya homogen waktu jika terdistribusi secara identik dan semua fungsi- adalah identik. $(X_n)_{n \geq 0}$ $F$ $x_0$ $\epsilon$ $f$

AR (1) dan VAR (1) keduanya proses yang diberikan dalam bentuk ini dengan

f_{n} (x, ϵ) = ρ x + ϵ .

$f_n(x, \epsilon) = \rho x + \epsilon.$

Jadi mereka adalah proses Markov yang homogen jika adalah iid $\epsilon$

Secara teknis, ruang dan membutuhkan struktur yang dapat diukur dan fungsi- harus dapat diukur. Sangat menarik bahwa hasil sebaliknya berlaku jika ruang adalah ruang Borel . Untuk setiap proses Markov pada ruang Borel ada variabel acak seragam iid dalam dan fungsi $E$ $F$ $f$ $F$ $(X_n)_{n \geq 0}$ $F$ $\epsilon_1, \epsilon_2, \ldots$ $[0,1]$ sedemikian rupa sehingga dengan probabilitas satu Lihat Proposisi 8.6 dalam Kallenberg,Yayasan Probabilitas Modern. $f_n : F \times [0, 1] \to F$

X_{n} = f_{n} (X_{n - 1}, ϵ_{n}) .

$X_n = f_n(X_{n-1}, \epsilon_n).$

— NRH
sumber

Proses adalah proses AR (1) jika $X_{t}$

X_{t} = c + φ X_{t - 1} + ε_{t}

$X_{t} = c + \varphi X_{t-1} + \varepsilon_{t}$

di mana kesalahan, iid. Sebuah proses memiliki properti Markov jika $\varepsilon_{t}$

P (X_{t} = x_{t} | e n t i r e h i s t o r y o f t h e p r o c e s s) = P (X_{t} = x_{t} | X_{t - 1} = x_{t - 1})

$P(X_{t} = x_t | {\rm entire \ history \ of \ the \ process }) = P(X_{t}=x_t| X_{t-1}=x_{t-1})$

Dari persamaan pertama, distribusi probabilitas jelas hanya tergantung pada , jadi, ya, AR (1) proses adalah proses Markov. $X_{t}$ $X_{t-1}$

— Makro
sumber

-1, alasan yang sama dengan poster lainnya. Jawabannya menyiratkan bahwa mudah untuk memeriksa properti Markov yang dikutip. Tidak, kecuali ditunjukkan sebaliknya. Perhatikan juga bahwa proses-proses AR (1) dapat didefinisikan dengan

menjadi non-iid, jadi ini juga harus ditekankan.

ε_{t}

$\varepsilon_t$

— mpiktas

Masalah utama adalah bahwa kita dapat dengan mudah menulis

dan kemudian kalimat terakhir akan berarti bahwa

X_{t} = c + ϕ c + ϕ^{2} X_{t - 2} + ϕ ε_{t - 1} + ε_{t}

$X_t=c+\phi c+\phi^2X_{t-2}+\phi\varepsilon_{t-1}+\varepsilon_{t}$

P (X_{t} = x_{t} | entire  history) = P (X_{t} = x_{t} | X_{t - 2} = x_{t - 2})

$P(X_t=x_t|\text{entire history})=P(X_{t}=x_t|X_{t-2}=x_{t-2})$ .

— mpiktas

Nah, proses markov bergantung pada

ketika Anda belum juga mengkondisikan pada

. Saya kira argumen yang lebih formal akan menganggap Anda mengkondisikan secara berurutan (yaitu Anda tidak memasukkan

kecuali Anda sudah mengkondisikan pada

X_{t - 2}

$X_{t-2}$

X_{t - 1}

$X_{t-1}$

X_{t - 2}

$X_{t-2}$

X_{t - 1}

$X_{t-1}$

— Makro

dan apa yang Anda tulis di sana sebenarnya tergantung pada

dan

(melalui istilah kesalahan

). Intinya adalah bahwa kemungkinan bersama dapat ditulis dengan mudah sebagai produk dari kemungkinan bersyarat yang hanya memerlukan pengkondisian pada titik waktu sebelumnya. Melalui redudansi parameter Anda dapat membuatnya terlihat seperti distribusi

tergantung pada

tetapi, setelah Anda dikondisikan pada

X_{t - 2}

$X_{t-2}$

X_{t - 1}

$X_{t-1}$

ε_{t - 1}

$\varepsilon_{t-1}$

X_{t}

$X_t$

X_{t - 2}

$X_{t-2}$

X_{t - 1}

$X_{t-1}$ , jelas tidak. (ps Saya menggunakan definisi standar proses AR (1) per buku seri waktu Shumway dan Stoeffer)

— Makro

Catatan saya tidak mengatakan bahwa jawabannya salah. Saya hanya tertarik pada detail, yaitu bahwa kesetaraan kedua secara intuitif terbukti, tetapi jika Anda ingin membuktikannya secara formal itu tidak mudah, IMHO.

— mpiktas

Apa itu proses Markov? (Longgar speeking) Proses stokastik adalah proses Markov urutan pertama jika kondisi

P [X (t) = x (t) | X (0) = x (0), . . ., X (t - 1) = x (t - 1)] = P [X (t) = x (t) | X (t - 1) = x (t - 1)]

$P\left [ X\left ( t \right )= x\left ( t \right ) | X\left ( 0 \right )= x\left ( 0 \right ),...,X\left ( t-1 \right )= x\left ( t-1 \right )\right ]=P\left [ X\left ( t \right )= x\left ( t \right ) | X\left ( t-1 \right )= x\left ( t-1 \right )\right ]$

$AR(1)$

Hal yang sama berlaku untuk VAR (1) menjadi proses Markov multivariat urutan pertama.

— Tomas
sumber

Hm, jika

ε_{t}

$\varepsilon_t$ are not iid, I do not think it holds. Also you did not give a proof, only cited the Markov property.

— mpiktas

I thought that Markov Process refers to the continuous case. Usual AR time series are discrete, so it should correspond to a Markov Chain instead of a Markov Process.

— joint_p

So we observe state of autoregressive process,

X_{t}

$X_t$ . The past history is

X_{t - 1}, X_{t - 2}, . . .

$X_{t-1},X_{t-2},...$ . This does not supply any additional information?

— mpiktas

@joint_p, the terminology is not completely consistent in the literature. Historically, as I see it, the usage of "chain" instead of "process" was typically a reference to the state space of the process being discrete but occasionally also time being discrete. Today many use "chain" to refer to discrete time but allowing for a general state space, as in Markov Chain Monte Carlo. However, using "process" is also correct.

— NRH

-1, since the proof of Markovian property is not given. Also the hand waving argument is not consistent with formula given. current state =

t

$t$ , past means

t - 1, t - 2, . . .

$t-1, t-2,...$ , next means

t + 1

$t+1$ , but the formula does not involve

t + 1

$t+1$ .

— mpiktas