Apa yang dimaksud dengan sampel variabel acak?

Variabel acak didefinisikan sebagai fungsi yang dapat diukur dari satu aljabar dengan ukuran dasar ke aljabar lainnya . $X$ $\sigma$ $(\Omega_1, \mathcal F_1)$ $P$ $\sigma$ $(\Omega_2, \mathcal F_2)$

Bagaimana kita berbicara tentang sampel dari variabel acak ini? Apakah kami memperlakukannya sebagai elemen dari ? Atau sebagai fungsi terukur yang sama dengan ? $X^n$ $\Omega_2$ $X$

Di mana saya bisa membaca lebih lanjut tentang ini?

Contoh:

Dalam estimasi Monte Carlo, kami membuktikan ketidakberpihakan estimator dengan mempertimbangkan sampel sebagai fungsi. Jika harapan dari variabel acak didefinisikan sebagai $(X^n)_{n = 1}^N$ $X$

\begin{aligned} E [X] = \int_{Ω_{1}} X (ω_{1}) d P (ω_{1}) \end{aligned}

$\begin{align} \mathbb E[X] = \int_{\Omega_1} X(\omega_1) \,\mathrm dP(\omega_1) \end{align}$

dan dengan asumsi bahwa adalah fungsi dan , kita dapat melanjutkan sebagai berikut: $X^n$ $X^n = X$

\begin{aligned} E [\frac{1}{N} \sum_{n = 1}^{N} f (X^{n})] & = \frac{1}{N} \sum_{n = 1}^{N} E [f (X^{n})] \\ = \frac{1}{N} \sum_{n = 1}^{N} E [f (X)] \\ = E [f (X)] . \end{aligned}

$\begin{align} \mathbb E\left[\frac{1}{N} \sum_{n = 1}^N f(X^n)\right] &= \frac{1}{N} \sum_{n = 1}^N \mathbb E[f(X^n)] \\ &= \frac{1}{N} \sum_{n = 1}^N \mathbb E[f(X)] \\ &= \mathbb E[f(X)]. \end{align}$

Jika hanya elemen dari , kami tidak dapat menulis set persamaan terakhir. $X^n$ $\Omega_2$

sampling random-variable simulation

— sk1ll3r
sumber

dalam contoh Anda, semua akan memiliki distribusi yang sama dengan yang Anda gambarkan, maka expecation mereka adalah sama dengan .

X^{n}

$X^n$

X

$X$

X

$X$

— bdeonovic

Jawaban:

Sebuah sampel adalah fungsi terukur dari ke . Realisasi dari sampel ini adalah nilai yang diambil oleh fungsi di , . $(X^1,\ldots,X^N)$ $\Omega_1$ $\Omega_2^N$ $\omega\in\Omega_1$ $(x^1,\ldots,x^N)=(X^1(\omega),\ldots,X^N(\omega))$

Saat menyatakan

dengan asumsi bahwa adalah fungsi dan $X^n$ $X^n=X$

Fungsi adalah semua fungsi yang berbeda, yang berarti bahwa gambar mungkin berbeda untuk diberikan . Ketika sampel iid (independen dan terdistribusi secara identik), fungsi berbeda dengan dua properti lebih lanjut $X^n$ $X^1(\omega),\ldots,X^N(\omega)$ $\omega$ $X^n$

distribusi identik, artinya untuk semua set terukur dalam ; $\mathbb{P}(X^1\in A)=\cdots=\mathbb{P}(X^N\in A)$ $A$ $\mathcal{F}_2$
independensi, artinya untuk semua set yang dapat diukur di $\mathbb{P}(X^1\in A^1,\ldots,X^N\in A^N)=\mathbb{P}(X^1\in A^1)\cdots\mathbb{P}(X^N\in A^N)$ $A^1,\ldots,A^N$ $\mathcal{F}_2$

Definisi Anda

$\begin{aligned} E [X] = \int_{Ω_{1}} X (ω_{1}) d ω_{1} \end{aligned}$ $\begin{align} \mathbb E[X] = \int_{\Omega_1} X(\omega_1) \,\mathrm d\omega_1 \end{align}$

salah: seharusnya

\begin{aligned} E [X] = \int_{Ω_{1}} X (ω_{1}) d P (ω_{1}) \end{aligned}

$\begin{align} \mathbb E[X] = \int_{\Omega_1} X(\omega_1) \,\mathrm dP(\omega_1) \end{align}$

— Xi'an
sumber

Sampel dapat diambil dari populasi , bukan dari variabel acak. "Sampel variabel acak" adalah cara sederhana untuk mengatakan bahwa kami memiliki sampel yang diambil dari populasi, yang kami asumsikan variabel acak yang terdistribusi secara identik. Jadi sampel tersebut berperilaku seperti variabel acak. Ini ambigu karena menggabungkan terminologi yang digunakan dalam probabilitas dan statistik. Sama dengan simulasi, di mana sampel diambil dari distribusi umum . Dalam kedua kasus, sampel adalah data $n$ $n$ $n$ kamu punya. Sampel dianggap sebagai variabel acak karena proses acak mengarah pada menggambar mereka. Mereka didistribusikan secara identik karena mereka berasal dari distribusi umum. Untuk berurusan dengan sampel, kami memiliki statistik, sementara statistik menggunakan abstrak, deskripsi matematis dari masalah itu dalam hal teori probabilitas, sehingga terminologi dicampur. Variabel acak adalah fungsi yang menetapkan probabilitas untuk peristiwa yang dapat ditemui dalam sampel Anda.

— Tim
sumber

Bagaimana dengan dalam konteks simulasi Monte Carlo. Di sana, sampel bukan dari suatu populasi. Mereka dari generator nomor acak.

— sk1ll3r

@ sk1ll3r masih sampelnya, diambil dari distribusi umum.

— Tim

Jadi, apakah saya akan memperlakukannya sebagai elemen dari atau fungsi dari hingga ?

Ω_{2}

$\Omega_2$

Ω_{1}

$\Omega_1$

Ω_{2}

$\Omega_2$

— sk1ll3r

@ sk1ll3r seperti dikatakan bdeonovic, itu hanya variabel acak biasa, tidak lebih dari ini.

— Tim