Buktikan bahwa tidak menurun untuk variabel acak yang tidak negatif

Untuk non-negatif variabel acak , bagaimana membuktikan bahwa adalah nondecreasing di ?$X$$E(X^n)^{\frac1n}$$n$

Tulis di tempat untuk menekankannya bisa berupa bilangan real positif, bukan hanya bilangan bulat seperti yang disarankan oleh " ".$p$$n$$n$

Mari kita pergi melalui beberapa transformasi pendahuluan standar untuk menyederhanakan perhitungan selanjutnya. Tidak ada bedanya dengan hasil untuk rescale . Hasilnya sepele jika hampir di mana-mana nol, jadi anggap adalah nol, di mana juga bukan nol untuk semua . Sekarang perbaiki dan bagi dengan sehingga tanpa kehilangan sifat umum.$X$$X$$\mathbb{E}(X)$$\mathbb{E}(X^p)$$p$$p$$X$$\mathbb{E}(X^p)^{1/p}$

$$\mathbb{E}(X^p) = 1\tag{1},$$

Begini caranya penalaran dapat dilanjutkan saat Anda mencoba mengetahuinya pertama kali dan Anda berusaha untuk tidak bekerja terlalu keras. Saya akan menyerahkan pembenaran terperinci dari setiap langkah kepada Anda.

Ekspresi tidak menurun jika dan hanya jika logaritma tidak menurun. Log itu dapat dibedakan dan karenanya tidak menurun jika dan hanya jika turunannya non-negatif. Mengeksploitasi kita dapat menghitung (dengan membedakan dalam harapan) turunan ini sebagai$\mathbb{E}(X^p)^{1/p}$$(1)$

$$\frac{d}{dp}\log\left( \mathbb{E}(X^p)^{1/p} \right) = -\frac{1}{p^2}\log\mathbb{E}(X^p) + \frac{\mathbb{E}(X^p \log X)}{\mathbb{E}(X^p)} = \frac{1}{p}\mathbb{E}(X^p \log(X^p)).$$

Menulis , sisi kanan adalah non-negatif jika dan hanya jika Tapi ini adalah konsekuensi langsung dari Ketimpangan Jensen yang diterapkan pada fungsi (kontinu pada real nonnegatif dan dapat dibedakan pada real positif), karena membedakan dua kali menunjukkan for , di mana adalah fungsi cembung pada real non-negatif, menghasilkan$Y=X^p$

$$\mathbb{E}(Y\log(Y)) \ge 0.$$ $f(y) = y\log(y)$ $$f^{\prime\prime}(y) = \frac{1}{y}\gt 0$$ $y\gt 0$$f$

$$\mathbb{E}(Y \log Y) = \mathbb{E}(f(Y)) \ge f\left(\mathbb{E}(Y)\right) = f(1) = 0,$$

QED .

---

Edit

Edward Nelson memberikan demonstrasi yang sangat singkat. Sebagai soal notasi (standar), tentukan untuk (dan ). Setelah mengamati bahwa fungsi adalah cembung, ia menerapkan Ketimpangan Jensen untuk menyimpulkan$||x||_p = \mathbb{E}(|x|^p)^{1/p}$$1 \lt p \lt \infty$$||x||_\infty = \sup |x|$$f(x) = |x|^p$

$$|\mathbb{E}(x)|^p \le \mathbb{E}(|x|^p).$$

Berikut adalah sisa demonstrasi dengan kata-katanya sendiri:

Diterapkan keini memberi dan diterapkan ke , di mana , ini memberi sehingga adalah peningkatan fungsi untuk .$|x|$

$$||x||_1 \le ||x||_p,$$ $|x|^r$$1 \le r \lt \infty$ $$||x||_r \le ||x||_{rp},$$ $||x||_p$$p$$1 \le p \le \infty$

Referensi

Edward Nelson, Teori Probabilitas Dasar Radikal. Princeton University Press (1987): hlm. 5.