Mengapa hukum angka besar tidak berlaku dalam kasus harga saham Apple?

Berikut adalah artikel di NY kali disebut "Apple berhadapan dengan hukum sejumlah besar" . Ia mencoba menjelaskan kenaikan harga saham Apple menggunakan hukum angka besar. Kesalahan statistik (atau matematika) apa yang dilakukan oleh artikel ini?

Inilah intinya: Apple sangat besar, itu berjalan melawan hukum sejumlah besar.

Juga dikenal sebagai teorema emas, dengan bukti yang dikaitkan dengan ahli matematika Swiss abad ke-17 Jacob Bernoulli, undang-undang menyatakan bahwa suatu variabel akan berubah menjadi rata-rata melalui sampel besar hasil. Dalam kasus perusahaan terbesar, ini menunjukkan bahwa pertumbuhan pendapatan yang tinggi dan kenaikan harga saham yang cepat akan melambat ketika perusahaan-perusahaan tersebut tumbuh semakin besar.

Percampuran kekacauan ini sebenarnya merujuk pada tiga fenomena berbeda!

1. (Berbagai) Hukum Angka Besar adalah fundamental dalam teori probabilitas untuk mengkarakterisasi situasi di mana masuk akal untuk mengharapkan sampel besar untuk memberikan informasi yang lebih baik tentang suatu proses atau populasi yang dijadikan sampel. Memang, Jacob Bernoulli adalah orang pertama yang mengakui perlunya menyatakan dan membuktikan teorema semacam itu, yang muncul dalam Ars Conjectandi anumerta pada tahun 1713 (diedit oleh keponakan Nicholas Bernoulli).

   Tidak ada aplikasi hukum yang jelas seperti itu untuk pertumbuhan Apple.

2. Regresi terhadap mean pertama kali diakui oleh Francis Galton pada tahun 1880-an. Namun, sering kurang dihargai di kalangan analis bisnis. Misalnya, pada awal 1933 (selama kedalaman dari Depresi Besar), Horace Secrist menerbitkan bukunya magnum opus, yang Triumph of biasa-biasa saja dalam Bisnis. Di dalamnya, ia meneliti deret waktu bisnis dan menemukan, dalam setiap kasus, bukti regresi terhadap nilai tengah. Tapi, gagal mengenali ini sebagai matematika yang tak terhindarkanFenomena, ia berpendapat bahwa ia telah menemukan kebenaran dasar pengembangan bisnis! Kekeliruan salah mengira pola matematis murni untuk hasil dari beberapa kekuatan atau kecenderungan yang mendasarinya (sekarang sering disebut "fallacy regresi") mengingatkan pada kutipan yang dikutip.

   (Patut dicatat bahwa Secrist adalah ahli statistik terkemuka, penulis salah satu buku teks statistik paling populer yang diterbitkan pada saat itu. Di JSTOR, Anda dapat menemukan ulasan laserasi tentang Kemenangan ... oleh Harold Hotelling yang diterbitkan di JASA pada akhir 1933. Di pertukaran surat berikutnya dengan Secrist, tulis Hotelling

   Ulasan saya ... terutama ditujukan untuk memperingatkan pembaca agar tidak menyimpulkan bahwa perusahaan bisnis memiliki kecenderungan untuk menjadi biasa-biasa saja ... Untuk "membuktikan" hasil matematika seperti itu dengan studi numerik yang mahal dan berkepanjangan ... analog dengan membuktikan penggandaan meja dengan mengatur gajah dalam baris dan kolom, dan kemudian melakukan hal yang sama untuk berbagai jenis binatang Pertunjukan itu, meskipun mungkin menghibur, dan memiliki nilai pedagogis tertentu, bukan merupakan kontribusi penting baik untuk zoologi atau matematika.

   [JASA Vol. 29, No. 186 (Juni 1934), hlm 198 dan 199].)

   Bagian NY Times tampaknya membuat kesalahan yang sama dengan data bisnis Apple.

3. Namun, jika kita membaca di artikel, kami segera mengungkap makna yang dimaksud penulis:

   Jika harga saham Apple tumbuh bahkan 20 persen setahun untuk dekade berikutnya, yang jauh di bawah kecepatan teriknya saat ini, kapitalisasi pasar $ 500 miliar akan lebih dari $ 3 triliun pada tahun 2022.

   Ini, tentu saja, adalah pernyataan tentang ekstrapolasi pertumbuhan eksponensial. Karena itu berisi gema prediksi populasi Malthus . Namun, bahaya ekstrapolasi tidak terbatas pada pertumbuhan eksponensial. Mark Twain (Samuel Clements) mengumpulkan ekstrapolasi nakal di Life on the Mississippi (1883, bab 17):

   Sekarang, jika saya ingin menjadi salah satu dari orang-orang ilmiah yang banyak, dan 'biarkan' untuk membuktikan ... apa yang akan terjadi di masa depan jauh dengan apa yang telah terjadi di akhir tahun, betapa besar peluang di sini! ... Harap perhatikan: -

   Dalam kurun waktu seratus tujuh puluh enam tahun, Lower Mississippi telah dipersingkat dua ratus empat puluh dua mil. Itu rata-rata dari sedikit lebih dari satu mil dan sepertiga per tahun. Oleh karena itu, setiap orang yang tenang, yang tidak buta atau idiot, dapat melihat bahwa dalam "Zaman Siluria Oolitik Lama," hanya satu juta tahun yang lalu pada November tahun depan, Sungai Mississippi Bawah mencapai lebih dari satu juta tiga ratus ribu mil panjangnya, dan macet. keluar di atas Teluk Meksiko seperti pancing. Dan dengan cara yang sama setiap orang dapat melihat bahwa tujuh ratus empat puluh dua tahun dari sekarang Lower Mississippi akan hanya satu mil dan tiga perempat panjang, dan Kairo dan New Orleans akan bergabung dengan jalan-jalan mereka bersama, dan berjalan dengan nyaman di bawah walikota tunggal dan dewan direksi aldermen. Ada sesuatu yang menarik tentang sains.Seseorang mendapatkan pengembalian grosir dugaan dari investasi fakta yang sepele. ”

   (Penekanan ditambahkan.) Satir Twain sebanding dengan kutipan artikel analis bisnis Robert Cihra:

   Jika Anda memperkirakan jauh di masa depan, untuk mempertahankan pertumbuhan itu Apple harus menjual iPhone ke setiap pria, wanita, anak, hewan, dan batu di planet ini.

   (Sayangnya, tampaknya Cihra tidak mengindahkan nasihatnya sendiri: ia menilai saham ini sebagai “beli.” Ia mungkin benar, bukan berdasarkan kemampuannya, tetapi berdasarkan teori bodoh yang lebih besar .)

Jika kita menganggap artikel itu berarti "berhati-hatilah mengekstrapolasi pertumbuhan sebelumnya ke masa depan," kita akan mendapat banyak manfaat darinya. Investor yang berpikir perusahaan ini adalah pembelian yang baik karena rasio PE -nya rendah (yang mencakup beberapa manajer uang terkemuka yang dikutip dalam artikel) tidak lebih baik daripada "orang-orang ilmiah yang banyak" yang ditusuk Twain lebih dari seabad yang lalu.

Seorang kenalan yang lebih baik dengan Bernoulli, Hotelling, dan Twain akan meningkatkan keakuratan dan keterbacaan artikel ini, tetapi pada akhirnya tampaknya pesannya benar.

Cukup lucu, saya hanya menulis posting blog tentang hal ini: http://confounding.net/2012/03/12/thats-not-how-the-law-of-large-numbers-works/

Pada dasarnya, Hukum Angka Besar adalah bahwa ketika jumlah uji coba dari proses acak meningkat, rata-rata uji coba tersebut akan mendekati rata-rata aktual (atau harapan, untuk distribusi yang lebih kompleks). Jadi sementara jika Anda melempar koin sekali dan mendapatkan kepala Anda kemungkinan kepala = 1.0, saat Anda membalik koin lebih banyak dan lebih, Anda akan semakin dekat dan lebih dekat ke 0,50.

Penulis berpendapat bahwa Apple akan mengalami masalah di masa depan karena sesuatu yang sebenarnya tidak berhubungan dengan Hukum Angka Besar. Yaitu, bahwa ketika Apple tumbuh lebih besar, kenaikan% yang sama dalam harga saham, pendapatan, dll semakin sulit untuk dicapai dalam bentuk dolar absolut. Pada dasarnya, untuk tetap pada jalurnya, Apple harus mendapatkan hit yang lebih besar dan lebih besar.

Mengaitkannya dengan perilaku proses acak konvergen ke rata-rata membutuhkan beberapa senam mental yang serius . Sejauh yang bisa saya katakan, pernyataannya adalah bahwa "Keangkeran produk Anda" adalah proses acak, dan sementara Apple telah memiliki coretan "Di Atas Rata-Rata" yang luar biasa, mereka pada akhirnya harus konvergen ke arah rata-rata "Middling ". Tapi itu benar - benar amal kepada penulis.

Hanya karena 500 miliar adalah jumlah yang besar, bukan berarti "Hukum Angka Besar" adalah yang bertindak atasnya.

Tidak ada alasan untuk berpikir bahwa harga saham menarik dari waktu ke waktu untuk perusahaan tertentu mewakili variabel acak yang independen dan terdistribusi secara identik.