Nilai yang diharapkan dari rasio variabel acak berkorelasi?

Untuk variabel acak independen dan , apakah ada bentuk ekspresi tertutup untuk $\alpha$ $\beta$

$\mathbb E \left[ \frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^2 + \beta^2}} \right]$

dalam hal nilai dan varian yang diharapkan dari dan ? Jika tidak, adakah batas bawah yang baik dari harapan itu? $\alpha$ $\beta$

Pembaruan: Saya mungkin juga menyebutkan bahwa dan . Saya dapat mengontrol varians pada dan , dan saya memikirkan pengaturan di mana varian kedua dan relatif kecil dibandingkan dengan . Mungkin kedua standar deviasi mereka kurang dari 0,3. $\mathbb E[\alpha] = 1$ $\mathbb E[\beta] = 0$ $\alpha$ $\beta$ $\alpha$ $\beta$ $\mathbb E[\alpha]$

— Jeff
sumber

Mungkin tidak. Apakah Anda memiliki formulir eksplisit untuk

α, β

$\alpha,\beta$ ?

— Alex R.

Sayangnya saya tidak. Saya hanya memiliki sarana dan batas atas pada varians mereka. Adakah pemikiran analitik pada batas bawah ekspektasi? Itu selalu antara 0 dan 1. Saya berpikir untuk melakukan sesuatu dengan ketidaksetaraan Chebyshev tetapi bertanya-tanya apakah ada cara yang lebih baik.

— Jeff

Apakah Anda tahu distribusi gabungan

α

$\alpha$ dan

β

$\beta$ ? Misalnya. Multivarian normal?

— Matthew Gunn

Tidak, saya tidak dapat menganggap mereka multivarian normal. Saya hanya memiliki bahwa mereka independen. Saya berharap mereka masing-masing secara umum normal, tetapi saya tidak bisa mengandalkan itu. Saya perlu batas bawah yang benar. Terima kasih sudah bertanya!

— Jeff

Saya memikirkan satu batas bawah, meskipun saya pikir itu tidak terlalu ketat. Saya hanya memilih nilai sewenang-wenang kurang dari rata-rata $\alpha$ dan nilai arbitrer lain di sekitar mean $\beta^2$ . Karena harapan adalah variabel acak non-negatif, dan karena $\alpha$ dan $\beta$ independen,

$\mathbb E \left[ \frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^2 + \beta^2}} \right] \ge \frac{1}{\sqrt{2}}\mathbb P(\alpha \ge \frac{1}{2}) \mathbb P(\beta^2 \le\frac{1}{4})$ .

Dengan ketidaksetaraan Chebyshev,

$\mathbb P(\alpha \ge \frac{1}{2}) = \mathbb P(\alpha - 1 \ge -\frac{1}{2}) \ge \mathbb P(|\alpha - 1| \le \frac{1}{2}) = 1 - \mathbb P(|\alpha - 1| \ge \frac{1}{2}) \ge 1 - 4\mathrm{var}(\alpha)$

Dengan ketidaksetaraan Markov,

$\mathbb P(\beta^2 \le\frac{1}{4}) = 1 - \mathbb P(\beta^2 \ge\frac{1}{4}) \ge 1 - 4 \mathbb E[\beta^2] = 1 - 4\mathrm{var}(\beta)$

Karena itu,

$\mathbb E \left[ \frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^2 + \beta^2}} \right] \ge \frac{1}{\sqrt{2}} (1 - 4 * 0.3^2) (1 - 4 * 0.3^2) > 0.28$

Apakah cara yang lebih standar / sistematis untuk melakukan apa yang saya lakukan di sini, yang semakin terikat?

— Jeff
sumber

Saya tidak percaya batas bawah ini

0.28

$0.28$ . Sebagai contoh tandingan, biarkan

α

$\alpha$ ambil nilainya

(1 + p) / (1 - p)

$(1+p)/(1-p)$ dengan probabilitas

1 - p

$1-p$ dan

- 1

$-1$ dengan probabilitas

p

$p$ , jadi artinya adalah

1

$1$ . Membiarkan

β

$\beta$ pada dasarnya nol (dibandingkan dengan

| α |

$|\alpha|$ ). Kemudian

α / \sqrt{α^{2} + β^{2}}

$\alpha/\sqrt{\alpha^2+\beta^2}$ mengambil nilai

- 1

$-1$ dengan probabilitas

p

$p$ dan

1

$1$ dengan probabilitas

1 - p

$1-p$ , membuat harapannya

1 - 2 p

$1-2p$ . Memilih

p \approx 1

$p\approx 1$ menunjukkan harapan dibatasi hanya oleh

- 1

$-1$ , dan ini adalah batas bawah terbaik.

— whuber

@whuber - As

p

$p$ pergi ke 1, bukan varians dari

α

$\alpha$ di counterexample Anda pergi ke infinity? Namun dalam pertanyaan, varians keduanya

α

$\alpha$ dan

β

$\beta$ dibatasi oleh

0.3

$0.3$ . Maaf karena tidak menulis dengan lebih jelas dalam pertanyaan.

— Jeff

Saya melihat ada cacat dalam jawaban saya: Saya berasumsi

α / \sqrt{α^{2} + β^{2}} \geq 0

$\alpha / \sqrt{\alpha ^2 + \beta^2} \ge 0$ tapi itu salah. Agak

α / \sqrt{α^{2} + β^{2}} \geq - 1

$\alpha / \sqrt{\alpha ^2 + \beta^2} \ge -1$ , seperti yang Anda perhatikan. Saya ingin tahu apakah jawabannya dapat diperbaiki.

— Jeff

Anda dapat mencapai batas maksimum

- σ^{2} (2 + σ^{2})

$-\sigma^2(2+\sigma^2)$ ketika varians

α

$\alpha$ adalah

σ^{2}

$\sigma^2$ . Lakukan ini dengan membuatnya

β

$\beta$ identik nol dan membiarkan

α

$\alpha$ mengambil dua nilai: satu sangat kecil tetapi negatif, dengan probabilitas

(1 + σ^{2}) / (2 + σ^{2})

$(1+\sigma^2)/(2+\sigma^2)$ ; nilai lainnya adalah

2 + σ^{2}

$2+\sigma^2$ .

— whuber

Saya pikir itu memecahkan masalah saya. Sangat banyak. Apakah Anda mempostingnya sebagai jawaban agar saya dapat menerimanya?

— Jeff