Saya mencoba memahami apakah transformasi Fourier diskrit memberikan representasi kurva yang sama dengan regresi menggunakan basis Fourier. Sebagai contoh,

library(fda)
Y=daily$tempav[,1] ## my data
length(Y) ## =365

## create Fourier basis and estimate the coefficients
mybasis=create.fourier.basis(c(0,365),365)  
basisMat=eval.basis(1:365,mybasis)
regcoef=coef(lm(Y~basisMat-1))

## using Fourier transform
fftcoef=fft(Y)

## compare
head(fftcoef)
head(regcoef)

FFT memberikan bilangan kompleks, sedangkan regresi memberikan bilangan real.

Apakah mereka menyampaikan informasi yang sama? Apakah ada peta satu ke satu di antara dua set angka?

(Saya akan sangat menghargai jika jawabannya ditulis dari perspektif ahli statistik alih-alih dari perspektif insinyur. Banyak bahan daring yang dapat saya temukan memiliki jargon teknik di mana-mana, yang membuat mereka kurang cocok untuk saya.)

Mereka sama. Begini caranya ...

Melakukan Regresi

Katakanlah Anda sesuai dengan model dimana t = 1 , ... , N dan n = lantai ( N / 2 ) . Ini tidak cocok untuk regresi linier, jadi alih-alih Anda menggunakan beberapa trigonometri ( cos ( a + b ) =

$$y_t = \sum_{j=1}^n A_j \cos(2 \pi t [j/N] + \phi_j)$$ $t=1,\ldots,N$$n = \text{floor}(N/2)$ ) dan sesuai dengan model yang setara: y t = 2 , j sin ( 2 π t [ j / N ] ) $\cos(a + b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)$ Menjalankan regresi linier pada semua frekuensi Fourier{j/N:j=1,…,n}memberi Anda banyak (2n) dari beta: { β i, $$y_t = \sum_{j=1}^n \beta_{1,j} \cos(2 \pi t [j/N]) + \beta_{2,j}\sin(2 \pi t [j/N]).$$ $\{j/N : j = 1, \ldots, n \}$$2n$ , i = 1 , 2 . Untuk setiap j , jika Anda ingin menghitung pasangan dengan tangan, Anda dapat menggunakan:$\{\hat{\beta}_{i,j}\}$$i=1,2$$j$

dan β 2,j=Σ N t = 1 y

$$\hat{\beta}_{1,j} = \frac{\sum_{t=1}^N y_t \cos(2 \pi t [j/N])}{\sum_{t=1}^N \cos^2(2 \pi t [j/N])}$$ Ini adalah formula regresi standar. $$\hat{\beta}_{2,j} = \frac{\sum_{t=1}^N y_t \sin(2 \pi t [j/N])}{\sum_{t=1}^N \sin^2(2 \pi t [j/N])}.$$

Melakukan Transformasi Fourier Diskrit

Ketika Anda menjalankan transformasi Fourier, Anda menghitung, untuk :$j=1, \ldots, n$

$$\begin{align*} d(j/N) &= N^{-1/2}\sum_{t=1}^N y_t \exp[- 2 \pi i t [j/N]] \\ &= N^{-1/2}\left(\sum_{t=1}^N y_t\cos(2 \pi t [j/N]) - i \sum_{t=1}^N y_t\sin(2 \pi t [j/N])\right) . \end{align*}$$

Ini adalah angka kompleks (perhatikan ). Untuk melihat mengapa persamaan itu berlaku, perlu diingat bahwa e i x = cos ( x ) + i sin ( x ) , cos ( - x ) = cos ( x ) dan sin ( - x ) = - sin ( x ) .$i$$e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)$$\cos(-x) = \cos(x)$$\sin(-x) = -\sin(x)$

Untuk setiap , mengambil kuadrat dari konjugat kompleks memberi Anda " periodogram :"$j$

$$|d(j/N)|^2 = N^{-1}\left(\sum_{t=1}^N y_t\cos(2 \pi t [j/N])\right)^2 + N^{-1}\left(\sum_{t=1}^N y_t\sin(2 \pi t [j/N])\right)^2.$$ Dalam R, menghitung vektor ini adalah I <- abs(fft(Y))^2/length(Y), yang agak aneh, karena Anda harus skala itu.

Anda juga dapat menentukan " skala periodogram "

$$P(j/N) = \left(\frac{2}{N}\sum_{t=1}^N y_t \cos(2 \pi t [j/N]) \right)^2 + \left(\frac{2}{N}\sum_{t=1}^N y_t \sin(2 \pi t [j/N]) \right)^2.$$ $P(j/N) = \frac{4}{N}|d(j/N)|^2$P <- (4/length(Y))*I[(1:floor(length(Y)/2))]

Koneksi Antara Keduanya

Ternyata hubungan antara regresi dan dua periodogram adalah:

$$P(j/N) = \hat{\beta}_{1,j}^2 + \hat{\beta}_{2,j}^2.$$ $j$$\sum_{t=1}^N \cos^2(2 \pi t [j/N]) = \sum_{t=1}^N \sin^2(2 \pi t [j/N]) = N/2$

Sumber: https://www.amazon.com/Time-Analysis-Its-Applications-Statistics/dp/144197864X

Mereka sangat terkait. Contoh Anda tidak dapat direproduksi karena Anda tidak memasukkan data Anda, jadi saya akan membuat yang baru. Pertama-tama, mari kita buat fungsi periodik:

T <- 10
omega <- 2*pi/T
N <- 21
x <- seq(0, T, len = N)
sum_sines_cosines <- function(x, omega){
    sin(omega*x)+2*cos(2*omega*x)+3*sin(4*omega*x)+4*cos(4*omega*x)
}
Yper <- sum_sines_cosines(x, omega)
Yper[N]-Yper[1] # numerically 0

x2 <- seq(0, T, len = 1000)
Yper2 <- sum_sines_cosines(x2, omega)
plot(x2, Yper2, col = "red", type = "l", xlab = "x", ylab = "Y")
points(x, Yper)

Sekarang, mari kita buat basis Fourier untuk regresi. Perhatikan bahwa, dengan$N = 2k+1$, tidak masuk akal untuk membuat lebih dari $N-2$ fungsi dasar, yaitu, $N-3=2(k-1)$sinus dan cosinus non-konstan, karena komponen frekuensi yang lebih tinggi alias pada kisi-kisi seperti itu. Misalnya, frekuensi sinus$k\omega$ tidak dapat dibedakan dari costant (sinus): pertimbangkan kasus $N=3$yaitu $k=1$. Lagi pula, jika Anda ingin memeriksa ulang, cukup ganti N-2ke Ndalam cuplikan di bawah ini dan lihat dua kolom terakhir: Anda akan melihat bahwa mereka sebenarnya tidak berguna (dan mereka membuat masalah untuk kecocokan, karena matriks desain sekarang tunggal ).

# Fourier Regression with fda
library(fda)
mybasis <- create.fourier.basis(c(0,T),N-2)
basisMat <- eval.basis(x, mybasis)
FDA_regression <- lm(Yper ~ basisMat-1)
FDA_coef <-coef(FDA_regression)
barplot(FDA_coef)

Perhatikan bahwa frekuensinya tepat, tetapi amplitudo komponen bukan nol tidak (1,2,3,4). Alasannya adalah bahwa fdafungsi-fungsi basis Fourier diskalakan dengan cara yang aneh: nilai maksimumnya bukan 1, seperti untuk basis Fourier biasa${1,\sin{ \omega x},\cos{ \omega x},\dots}$. Ini bukan$\frac{1}{\sqrt \pi}$ baik, karena akan menjadi dasar Fourier ortonormal, ${\frac{1}{\sqrt {2\pi}},\frac{\sin{ \omega x}}{\sqrt \pi},\frac{\cos{ \omega x}}{\sqrt \pi},\dots}$.

# FDA basis has a weird scaling
max(abs(basisMat))
plot(mybasis)

Anda jelas melihat bahwa:

1. nilai maksimum kurang dari $\frac{1}{\sqrt \pi}$
2. dasar Fourier (terpotong ke yang pertama $N-2$ istilah) berisi fungsi konstan (garis hitam), sinus frekuensi yang meningkat (kurva yang sama dengan 0 pada batas domain) dan cosinus dari peningkatan frekuensi (kurva yang sama dengan 1 pada batas domain), karena seharusnya

Penskalaan basis Fourier yang diberikan oleh fda, sehingga basis Fourier yang biasa diperoleh, mengarah ke koefisien regresi yang memiliki nilai yang diharapkan:

basisMat <- basisMat/max(abs(basisMat))
FDA_regression <- lm(Yper ~ basisMat-1)
FDA_coef <-coef(FDA_regression)
barplot(FDA_coef, names.arg = colnames(basisMat), main = "rescaled FDA coefficients")

Mari kita coba fftsekarang: perhatikan bahwa karena Yperadalah urutan periodik, titik terakhir tidak benar-benar menambahkan informasi (DFT urutan selalu periodik). Dengan demikian kita dapat membuang poin terakhir saat menghitung FFT. Juga, FFT hanyalah algoritma numerik cepat untuk menghitung DFT, dan DFT dari urutan bilangan real atau kompleks adalah kompleks . Jadi, kami benar-benar ingin modulus koefisien FFT:

# FFT
fft_coef <- Mod(fft(Yper[1:(N-1)]))*2/(N-1)

Kami berkembang biak dengan $\frac{2}{N-1}$ untuk memiliki skala yang sama dengan basis Fourier ${1,\sin{ \omega x},\cos{ \omega x},\dots}$. Jika kami tidak skala, kami masih akan memulihkan frekuensi yang benar, tetapi amplitudo semua akan diskalakan oleh faktor yang sama sehubungan dengan apa yang kami temukan sebelumnya. Sekarang mari kita plot koefisien fft:

fft_coef <- fft_coef[1:((N-1)/2)]
terms <- paste0("exp",seq(0,(N-1)/2-1))
barplot(fft_coef, names.arg = terms, main = "FFT coefficients")

Ok: frekuensinya benar, tetapi perhatikan bahwa sekarang fungsi dasar bukan sinus dan cosinus lagi (mereka eksponensial kompleks $\exp{ni\omega x}$, dimana dengan $i$Saya menunjukkan unit imajiner). Perhatikan juga bahwa alih-alih satu set frekuensi bukan nol (1,2,3,4) seperti sebelumnya, kami mendapat satu set (1,2,5). Alasannya adalah istilah itu$x_n\exp{ni\omega x}$ dalam ekspansi koefisien kompleks ini (dengan demikian $x_n$ kompleks) sesuai dengan dua istilah nyata $a_n sin(n\omega x)+b_n cos(n\omega x)$ dalam ekspansi dasar trigonometri, karena rumus Euler $\exp{ix}=\cos{x}+i\sin{x}$. Modulus koefisien kompleks sama dengan jumlah dalam kuadrature dari dua koefisien nyata, yaitu,$|x_n|=\sqrt{a_n^2+b_n^2}$. Faktanya,$5=\sqrt{3^3+4^2}$.