Apa yang salah dengan resolusi yang diusulkan untuk Paradox St Petersburg ini?

Kami memiliki permainan di mana pembayaran Anda adalah mana adalah berapa kali Anda membalik koin untuk mendarat di kepala (jika flip pertama Anda adalah kepala, maka ). Maka pembayaran yang diharapkan adalah:$2^k$$k$$k=1$

Berapa yang harus saya bayar untuk memainkan game ini?

Yah kita tahu dari distribusi geometris jumlah koin yang diharapkan saya akan balik sampai mendapatkan kepala adalah:

Jadi saya akan membayar kurang dari dengan :$2^k$$k=2$

yaitu <4 dolar

https://en.wikipedia.org/wiki/St._Petersburg_paradox untuk referensi

• Biarkan menjadi beberapa variabel acak.$K$

  • Dalam masalah Anda, adalah berapa kali Anda membalik sebelum mendapatkan kepala.$K$

• Biarkan menjadi beberapa fungsi hasil.$f(k)$

  • Dalam masalah Anda .$f(k) = 2^k$

• Biarkan menjadi imbalannya$f(K)$

Anda mengatakan bahwa penilaian yang wajar dari judi diberikan oleh . Ini adalah heuristik yang sepenuhnya ad-hoc, agak tidak berprinsip. Mungkin baik dalam beberapa situasi (mis. Di mana$f(K)$$f(\mathrm{E[}K])$$K$ kecil dan $f$ dekat linier), tetapi mudah untuk membangun contoh yang menunjukkan sesuatu yang tidak masuk akal.

Contoh di mana sistem Anda sama sekali tidak masuk akal

Membiarkan $K$ menjadi undian dari distribusi normal $\mathcal{N}(0,10000000000000)$ dan biarkan fungsi hasil menjadi $f(K) = K^2$. Sistem Anda mengatakan saya tidak boleh membayar lebih dari$0$ untuk pertaruhan ini karena $f(\mathrm{E}[K]) = 0^2 = 0$. Tetapi tidakkah Anda seharusnya memberikan nilai positif pada pertaruhan ini ?! Ada kemungkinan 100% pembayarannya lebih besar dari nol!

Resolusi Paradox St. Petersburg yang lebih klasik

Salah satu pendekatan adalah menambahkan penghindaran risiko. Jika Anda cukup berisiko menolak, apa yang Anda bayarkan untuk memainkan judi harapan tak terbatas ini akan terbatas. Jika Anda menerima aksioma Von Neumann-Morgernstern , maka kepastian yang setara dengan bermain game diberikan oleh$z$ dimana:

dan dimana $w$ adalah kekayaanmu dan $u$adalah fungsi cekung (dalam jargon, fungsi utilitas Bernoulli) yang menangkap tingkat keengganan risiko Anda. Jika$u$ cukup cekung, penilaian $2^K$ akan terbatas.

Fungsi utilitas Bernoulli dengan beberapa properti bagus ternyata $u(x) = \log(x)$. Memaksimalkan utilitas yang diharapkan di mana fungsi utilitas Bernoulli adalah log kekayaan Anda setara dengan memaksimalkan tingkat pertumbuhan yang diharapkan dari kekayaan Anda. Untuk taruhan biner sederhana, ini memberi Anda taruhan Kriteria Kelly .

Poin penting lainnya adalah bahwa pendekatan penghindaran risiko mengarah pada kesetaraan kepastian yang berbeda tergantung pada sisi taruhan Anda.

Tidak ada yang salah dengan resolusi yang diusulkan.

Dalam paradoks asli kita melihat nilai yang diharapkan (rata-rata) dari laba yang tak terbatas dan karenanya Anda harus mempertaruhkan jumlah yang tak terbatas. Namun, setelah flip pertama dari koin ada peluang 50% bahwa Anda kehilangan uang dan itulah sebabnya orang tidak menyukainya. Resolusi Anda hanya memformalkan ini, alih-alih melihat laba rata-rata yang Anda cari pada laba median. Berbeda dengan laba rata-rata, laba median terbatas dan paradoks hilang.

Jika saya mengerti dengan benar, analisis Anda adalah:

1. Hitung jumlah yang diharapkan dari koin-flip yang diperlukan untuk mendapatkan kepala.
2. Hitung pembayaran untuk hasil di mana Anda mendapatkan persis angka yang diharapkan.
3. Nilai game sama dengan pembayaran itu.

... OK, mari kita modifikasi permainan itu sedikit. Sama seperti versi aslinya, saya akan melempar koin dan terus membalik sampai saya membuang kepala. Hanya pembayaran yang berubah:

• Jika saya membalik kepala pada lemparan kedua, Anda mendapatkan empat dolar.
• Pada setiap hasil lainnya, Anda kehilangan semua yang Anda miliki dan harus bekerja untukku selamanya, gratis.

Berapa banyak koin yang kita harapkan untuk diputar sebelum kita mendapatkan kepala? 2, persis sama seperti sebelumnya.

Apa pembayaran untuk hasil di mana kita melempar dua koin untuk mendapatkan kepala? $ 4,00, persis sama dengan sebelumnya.

Berapa banyak yang bersedia Anda bayar untuk 'hak istimewa' membayar permainan ini yang memiliki peluang 75% untuk membangkrutkan Anda dan peluang 25% untuk mengembalikan $ 4,00?

Saya menduga jawabannya tidak "hingga empat dolar, persis sama dengan sebelumnya". Yang berarti ada lubang dalam logika Anda.

Mengambil perspektif yang lebih luas, kemenangan yang diharapkan tidak selalu cukup informasi untuk menjawab pertanyaan semacam ini; biasanya itu tergantung pada beberapa konteks tambahan. Apakah ini peluang satu kali saja atau Anda berharap akan ditawari pertaruhan ini berkali-kali? Berapa banyak uang yang Anda miliki? Dan berapa banyak uang yang Anda butuhkan untuk bahagia?

Sebagai contoh, jika total kekayaan saya adalah $ 100 tetapi saya sangat membutuhkan satu juta dolar untuk operasi penyelamatan nyawa, saya akan bersedia membayar semua uang saya untuk sekali suntikan pada taruhan St. Petersburg. Itu hanya memberi saya peluang 1/2 ^ 19 untuk memenangkan uang yang saya butuhkan, tetapi jika saya tidak bermain saya tidak memiliki kesempatan sama sekali.

Di sisi lain, jika total kekayaan saya adalah $ 1000.000 dan saya membutuhkan tepat satu juta dolar untuk operasi itu, paling banyak saya bersedia membayar untuk satu permainan adalah dua dolar (yang saya dijamin akan menang kembali) . Lebih dari itu, dan saya memiliki peluang 1/2 untuk mendapatkan jutaan dolar yang saya butuhkan untuk menyelamatkan hidup saya.

Jika saya berharap memiliki banyak peluang untuk bermain game seperti itu, maka saya mungkin ingin memilih strategi yang memberi saya kemungkinan besar memiliki banyak uang di akhir semua game itu. Sebagai contoh:

Game A dijamin meningkatkan kekayaan saya sebesar 10% setiap kali saya memainkannya. (Kemenangan yang diharapkan: + 10% dari kekayaan saya saat ini.) Game B memiliki peluang 90% untuk menggandakan kekayaan saya, dan peluang 10% untuk membangkrutkan saya. (Kemenangan yang diharapkan: + 70% dari kekayaan saya saat ini.) [Edit: sebenarnya + 80% karena saya gagal di aritmatika dasar, tetapi argumennya masih berlaku.]

Jika saya memainkan 100 iterasi Game A, saya yakin akan melipatgandakan kekayaan saya sebanyak 13.780 kali.

Jika saya memainkan 100 iterasi Game B, saya memiliki peluang 0,0027% untuk menjadi kaya yang tak terbayangkan (sekitar 10 ^ 30 x apa yang saya mulai dengan) ... ... dan peluang 99,73% untuk menjadi bangkrut. Meskipun rata - rata lebih baik daripada untuk Game A, itu bukan pilihan yang baik.

Untuk game yang sangat iterasi ini, daripada mencoba memaksimalkan kemenangan yang saya harapkan di setiap game, saya lebih baik mencoba memaksimalkan nilai yang diharapkan dari ln (total kekayaan setelah pertandingan / total kekayaan sebelum pertandingan). Ini memastikan pertumbuhan jangka panjang tanpa terhapus.

Jika taruhan untuk setiap pertandingan relatif kecil dibandingkan dengan total kekayaan saya, maka ini kira-kira setara dengan memaksimalkan kemenangan yang diharapkan di setiap pertandingan.

Jadi, jika Anda bermain banyak permainan dan tidak pernah mempertaruhkan sebagian besar kekayaan Anda saat ini, maka nilai taruhan yang diharapkan memberi tahu Anda semua yang perlu Anda ketahui. Dalam hampir semua situasi lain, Anda perlu memikirkan hal-hal lain juga.