Berapa distribusi jumlah variabel acak kuadrat-kuadrat?

Apa yang akan menjadi distribusi persamaan berikut:

y = a^{2} + 2 a d + d^{2}

$y = a^2 + 2ad + d^2$

dimana $a$ dan $d$ adalah variabel acak independen non-sentral dengan $2 \textbf{M}$ derajat kebebasan.

OBS .: rv menghasilkan keduanya $a$ dan $d$ memiliki $\mu = 0$ dan $\sigma^2 \neq 1$ , Katakanlah $\sigma^2 = c$ .

distributions chi-squared pdf

— Felipe Augusto de Figueiredo
sumber

1. Bagaimana kabarnya

a

$a$ dan

d

$d$ terkait? 2. Variabel acak Chi-square sudah memiliki mean> 0 Mengapa Anda perlu menyatakannya secara eksplisit? (Atau apakah Anda mencoba merujuk ke chi-square non-sentral?)

— Glen_b -Reinstate Monica

Saya baru saja menambahkan beberapa informasi lagi ke pertanyaan. Mereka adalah non-sentral chi-square rv karena mereka dihasilkan oleh variabel acak Gaussian kompleks simetris lingkaran non-standar.

— Felipe Augusto de Figueiredo

2M apakah derajat kebebasan untuk keduanya?

— Alecos Papadopoulos

Felipe, dalam pertanyaan Anda, Anda menyatakan

a

$a$ dan

d

$d$ lakukan "miliki

μ = 0

$\mu=0$ "tetapi sekarang dalam komentar terakhir Anda, Anda menyatakan mereka tidak memiliki properti ini. Yang mana itu ??

— whuber

Terima kasih telah mencoba menjelaskan, tetapi saya masih tidak dapat memahaminya. Di mana Anda menulis "

a

$a$ dan

d

$d$ adalah variabel acak chi-square non-sentral independen "kedengarannya seperti Anda menjumlahkan kuadrat dari variabel acak Normal yang memiliki nilai nol, karena itulah bagaimana variabel Chi-kuadrat non-sentral biasanya muncul. Tetapi kemudian Anda menulis" The rv menghasilkan keduanya

a

$a$ dan

d

$d$ memiliki

μ = 0

$\mu=0$ ", Yang menunjukkan Anda bekerja dengan pusat variabel Chi-kuadrat. Saya menduga ini adalah inkonsistensi yang diminta komentar awal oleh @Glen_b. Bisakah Anda menunjukkan secara eksplisit apa

a

$a$ dan

d

$d$ adalah?

— whuber

Jawaban:

Jika $a, d\sim\chi^2_{2M}$ independen, kalau begitu $X=a+d$ akan memiliki $\chi^2_{4M}$ distribusi. Sejak $X$ tidak negatif, CDF dari $Y=a^2+2ad+d^2=(a+d)^2=X^2$ dapat ditemukan dengan mencatat

F_{Y} (y) = P (Y \leq y) = P (X^{2} \leq y) = P (X \leq \sqrt{y}) = F_{X} (\sqrt{y}) .

$F_Y(y)=P(Y\leq y)=P(X^2\leq y)=P(X\leq \sqrt{y})=F_X(\sqrt{y}).$ Karena itu,

f_{Y} (y) = \frac{1}{2 \sqrt{y}} f_{X} (\sqrt{y}) = \frac{1}{2^{2 M + 1} Γ (2 M)} y^{M - 1} e^{- \sqrt{y} / 2} .

$f_Y(y)=\frac{1}{2\sqrt{y}}f_X(\sqrt{y})=\frac{1}{2^{2M+1}\Gamma(2M)}y^{M-1}e^{-\sqrt{y}/2}.$

Jika $a$ dan $d$ berkorelasi maka hal-hal jauh lebih rumit. Lihat misalnya fungsi distribusi kumulatif NH Gordon & PF Ramig dari jumlah variabel acak kuadrat berkorelasi (1983) untuk definisi multivariat chi-kuadrat dan distribusi jumlahnya.

Jika $\mu\neq 2M$ maka Anda berhadapan dengan chi-kuadrat non-sentral sehingga hal di atas tidak lagi berlaku. Posting ini dapat memberikan beberapa wawasan.

EDIT: Berdasarkan informasi baru, tampaknya $a$ dan $d$ dibentuk dengan menyimpulkan rv normal dengan varian non-unit. Ingat kembali jika $Z\sim N(0, 1)$ kemudian $\sqrt{c}Z\sim N(0, c)$ . Sejak sekarang

a = c \sum_{i = 1}^{2 M} Z_{i}^{2} = d,

$a=c\sum_{i=1}^{2M}Z_i^2=d,$ kedua

a, d

$a,d$ akan memiliki distribusi chi-squared oleh

c

$c$ yaitu

Γ (M, 2 c)

$\Gamma(M, 2c)$ distribusi. Pada kasus ini

X = a + d

$X=a+d$ akan

Γ (2 M, 2 c)

$\Gamma(2M, 2c)$ didistribusikan. Akibatnya, untuk

Y = X^{2}

$Y=X^2$ kita punya

f_{Y} (y) = \frac{1}{2 (2 c)^{2 M} Γ (2 M)} y^{M - 1} e^{- \sqrt{y} / 2 c} .

$f_Y(y)=\frac{1}{2(2c)^{2M}\Gamma(2M)}y^{M-1}e^{-\sqrt{y}/2c}.$

— Francis
sumber

Bagaimana kamu masuk? Apakah itu seharusnya menjadi rata-rata dari salah satu variabel chi-square? Saya kira itu tidak ada hubungannya dengan masalah.

— Michael R. Chernick

@MichaelChernick: mungkin berarti

a, d

$a, d$ dapat chi-kuadrat non-sentral?

— Francis

Saya kira Anda dapat membuat asumsi itu tetapi OP tidak membuat koneksi apa pun. Saya pikir Anda mengambil pendekatan yang tepat, non-sentral tidak bisa masuk ke dalam masalah ini. X adalah kuadrat dari chi-square di sini. Dalam kasus kemerdekaan yang Anda gunakan di sini, sebutan apakah sebaran ini?

— Michael R. Chernick

@MichaelChernick Saya tidak yakin apakah ada nama khusus yang terkait dengan distribusi. "chi-tesseracted" mungkin?

— Francis

a

$a$ dan

d

$d$ adalah chi-squared non-sentral.

— Felipe Augusto de Figueiredo

Karena chi-square non-sentral adalah jumlah dari rv independen, maka jumlah dari dua chi-square non-sentral independen $X = a+b$ juga merupakan chi-square non-sentral dengan parameter jumlah parameter yang sesuai dari dua komponen, $k_x = k_a+k_b$ (derajat kebebasan), $\lambda_x = \lambda_a+\lambda_b$ (parameter non-sentralitas).

Untuk mendapatkan fungsi distribusi kuadratnya $Y =X^2$ , seseorang dapat menerapkan "metode CDF" (seperti pada jawaban @francis),

F_{Y} (y) = P (Y \leq y) = P (X^{2} \leq y) = P (X \leq \sqrt{y}) = F_{X} (\sqrt{y})

$F_Y(y)=P(Y\leq y)=P(X^2\leq y)=P(X\leq \sqrt{y})=F_X(\sqrt{y})$

dan dimana

F_{X} (x) = 1 - Q_{k_{x} / 2} (\sqrt{λ_{x}}, \sqrt{x})

$F_X(x)=1 - Q_{k_x/2} \left( \sqrt{\lambda_x}, \sqrt{x} \right)$

begitu

F_{Y} (y) = 1 - Q_{k_{x} / 2} (\sqrt{λ_{x}}, y^{1 / 4})

$F_Y(y)=1 - Q_{k_x/2} \left( \sqrt{\lambda_x}, y^{1/4} \right)$

dimana $Q$ di sini adalah fungsi-Marcum .

Di atas berlaku untuk chi-kuadrat non-sentral yang dibentuk sebagai jumlah normal kuadrat independen masing-masing dengan varians kesatuan tetapi rata-rata berbeda.

ADDENDUM RESPONDING UNTUK EDIT PERTANYAAN

Jika basis rv adalah $N(0,c)$ , maka kuadrat masing-masing adalah a $Gamma (1/2,2c)$ lihat https://stats.stackexchange.com/a/122864/28746 .

Jadi rv $a \sim Gamma (M, 2c)$ dan $b \sim Gamma (M, 2c)$ jadi juga $X = a+b \sim Gamma(2M, 2c)$ (parametriisasi bentuk-skala, dan lihat artikel wikipedia untuk properti aditif untuk Gamma).

Kemudian orang dapat menerapkan lagi metode CDF untuk menemukan CDF dari alun-alun $Y = X^2$

— Alecos Papadopoulos
sumber

@FelipeAugustodeFigueiredo Maaf, saya tidak terbiasa dengan rv kompleks. Jawaban saya menerima kenyataan bahwa kita mulai dari chi-square non-sentral.

— Alecos Papadopoulos

Bagaimana jika rv adalah variabel acak Gaussian kompleks simetris bundar dengan

μ = 0

$\mu = 0$ dan

σ = c I

$\sigma = cI$ ?

— Felipe Augusto de Figueiredo

mari kita lupakan tentang rv kompleks. Bagaimana jika rv menghasilkan

a

$a$ dan

d

$d$ adalah Gaussian rv's dengan

μ = 0

$\mu = 0$ dan

σ \neq 1

$\sigma \neq 1$ ? Semua Gaussian rv memiliki varian yang sama, sebut saja

c

$c$ .

— Felipe Augusto de Figueiredo

bisa tolong bantu saya dengan pertanyaan berikut: stats.stackexchange.com/questions/253764/… . Petunjuk apa pun akan sangat dihargai. Terima kasih!

— Felipe Augusto de Figueiredo

@FelipeAugustodeFigueiredo Saya khawatir saya tidak memiliki sesuatu untuk ditawarkan untuk pertanyaan itu.

— Alecos Papadopoulos