jumlah variabel acak non-sentral Chi-square

21

Saya perlu menemukan distribusi variabel acak mana dan semua independen. Saya tahu bahwa adalah mungkin untuk pertama-tama menemukan produk dari semua fungsi yang menghasilkan momen untuk , dan kemudian mengubahnya kembali untuk mendapatkan distribusiNamun, saya bertanya-tanya apakah ada bentuk umum untuk seperti kasus Gaussian: kita tahu jumlah Gaussian independen masih merupakan Gaussian, dan dengan demikian kita hanya perlu mengetahui rangkuman rata-rata dan penjumlahan penjumlahan.

Y = \sum_{i = 1}^{n} (X_{i})^{2}

$Y=\sum_{i=1}^{n}(X_i)^2$

X_{i} \sim N (μ_{i}, σ_{i}^{2})

$X_i\sim{\cal{N}}(\mu_i,\sigma^2_i)$

X_{i}

$X_i$

X_{i}

$X_i$

Y

$Y$

Y

$Y$

Bagaimana dengan semua ? Apakah kondisi ini akan menjadi solusi umum? $\sigma^2_i=\sigma^2$

— jebakan
sumber

1

Melihat paragraf pertama di bawah sini , jelas kondisi terakhir menghasilkan chi-square noncentral berskala (dibagi dengan (faktor skala yang Anda ambil di depan) dan buat in ). Bentuk yang lebih umum yang Anda mulai dengan terlihat seperti kombinasi linier atau rata-rata tertimbang skala, dengan koefisien daripada jumlah sederhana dari kotak skala ... dan saya percaya bahwa umumnya tidak akan memiliki distribusi yang diperlukan.

σ^{2}

$\sigma^2$

σ_{i} = 1

$\sigma_i=1$

\sum_{i = 1}^{k} (X_{i} / σ_{i})^{2}

$\sum_{i=1}^k (X_i/\sigma_i)^2$

σ_{i}^{2}

$\sigma^2_i$

— Glen_b -Reinstate Monica

Bergantung pada apa yang Anda butuhkan, dalam kasus-kasus tertentu Anda dapat melakukan konvolusi numerik, atau simulasi.

— Glen_b -Reinstate Monica

Ini digeneralisasikan oleh distribusi 'jumlah log chi-square ke kekuasaan'. Paket R saya sadistsmenyediakan perkiraan fungsi 'dpqr' untuk

; cf github.com/shabbychef/sadists

Y

$Y$

— shabbychef

17

Seperti yang dicatat oleh Glen_b dalam komentar, jika variansnya sama, Anda berakhir dengan chi-squared noncentral.

Jika tidak, ada konsep distribusi chi-squared umum , yaitu untuk dan tetap. Dalam hal ini, Anda memiliki kasus khusus dari diagonal ( ), dan . $x^T A x$ $x \sim N(\mu, \Sigma)$ $A$ $\Sigma$ $\Sigma_{ii} = \sigma_i^2$ $A = I$

Ada beberapa pekerjaan dalam hal komputasi dengan distribusi ini:

Imhof (1961) dan Davies (1980) secara numerik membalikkan fungsi karakteristik.
Sheil dan O'Muircheartaigh (1977) menulis distribusi sebagai jumlah tak terbatas dari variabel chi-squared pusat.
Kuonen (1999) memberikan perkiraan saddlepoint ke pdf / cdf.
Liu, Tang dan Zhang (2009) memperkirakannya dengan distribusi chi-squared noncentral berdasarkan pencocokan kumulans.

Anda juga dapat menulis sebagai kombinasi linear dari independen noncentral chi-kuadrat variabel , dalam hal ini: $Y = \sum_{i=1}^n \sigma_i^2 \left( \frac{X_i^2}{\sigma_i^2} \right)$

Castaño-Martínez dan López-Blázquez (2005) memberikan ekspansi Laguerre untuk pdf / cdf.

Bausch (2013) memberikan algoritma yang lebih efisien secara komputasi untuk kombinasi linear chi-squareds pusat; karyanya mungkin diperluas ke chi-squared noncentral, dan Anda mungkin menemukan beberapa petunjuk menarik di bagian kerja terkait.

— Dougal
sumber

2

Perbandingan metode aproksimasi ditemukan di Duchesne et al. 2010. Statistik Komputasi dan Analisis Data, 54, 858–862. Penulis memelihara paket R CompQuadForm dengan implementasi.

— caracal

-10

Ini akan menjadi Chi-Square dengan n derajat kebebasan.

— Ahmed
sumber

6

Saya percaya Anda mengabaikan bahwa

mungkin bukan nol. Komentar untuk pertanyaan serta jawaban yang ada informatif.

μ_{i}

$\mu_i$

— whuber