Kesenjangan maksimum antara sampel yang diambil tanpa penggantian dari distribusi seragam diskrit

Masalah ini terkait dengan penelitian lab saya dalam cakupan robot:

Gambar angka secara acak dari set tanpa penggantian, dan urutkan angka dalam urutan menaik. . $n$ $\{1,2,\ldots,m\}$ $1\le n\le m$

Dari daftar angka yang diurutkan ini , menghasilkan perbedaan antara angka berurutan dan batas: . Ini memberi celah. $\{a_{(1)},a_{(2)},…,a_{(n)}\}$ $g = \{a_{(1)},a_{(2)}−a_{(1)},\ldots,a_{(n)}−a_{(n-1)},m+1-a_{(n)}\}$ $n+1$

Apa distribusi kesenjangan maksimum?

$P(\max(g) = k) = P(k;m,n) = ?$

Ini dapat dibingkai menggunakan statistik pesanan : $P(g_{(n+1)} = k) = P(k;m,n) = ?$

Lihat tautan untuk distribusi kesenjangan , tetapi pertanyaan ini menanyakan distribusi kesenjangan maksimum .

Saya akan puas dengan nilai rata-rata, $\mathbb{E}[g_{(n+1)}]$ .

Jika $n=m$ semua kesenjangan adalah ukuran 1. Jika $n+1 = m$ ada satu celah ukuran $2$ , dan $n+1$ kemungkinan lokasi. Ukuran celah maksimum adalah $m-n+1$ , dan celah ini dapat ditempatkan sebelum atau setelah salah satu nomor $n$ , untuk total $n+1$ posisi yang memungkinkan. Ukuran celah maksimum terkecil terkecil adalah $\lceil\frac{m-n}{n+1}\rceil$ . Tentukan probabilitas kombinasi apa pun yang diberikan $T= {m \choose n}^{-1}$ .

Saya telah memecahkan sebagian fungsi massa probabilitas sebagai $P(g_{(n+1)} = k) = P(k;m,n) = \begin{cases} 0 & k < \lceil\frac{m-n}{n+1}\rceil\\ 1 & k = \frac{m-n}{n+1} \\ 1 & k = 1 \text{ (occurs when $m=n$)} \\ T(n+1)& k = 2 \text{ (occurs when $m=n+1$)} \\ T(n+1)& k = \frac{m-(n-1)}{n} \\ ? & \frac{m-(n-1)}{n} \le k \le m-n+1 \\ T(n+1)& k = m-n+1\\ 0 & k > m-n+1 \end{cases} \tag{1}$

Pekerjaan saat ini (1): Persamaan untuk celah pertama, langsung: Nilai yang diharapkan memiliki nilai sederhana: . Dengan simetri, saya berharap semua kesenjangan memiliki distribusi ini. Mungkin solusinya dapat ditemukan dengan menggambar dari distribusi ini kali. $a_{(1)}$

P (a_{(1)} = k) = P (k; m, n) = \frac{1}{(\binom{m}{n})} \sum_{k = 1}^{m - n + 1} (\binom{m - k - 1}{n - 1})

$P(a_{(1)} = k) = P(k;m,n) = \frac{1}{{m \choose n}} \sum_{k=1}^{m-n+1} {m-k-1 \choose n-1}$

E [P (a_{(1)})] = \frac{1}{(\binom{m}{n})} \sum_{k = 1}^{m - n + 1} (\binom{m - k - 1}{n - 1}) k = \frac{m - n}{1 + n}

$\mathbb{E}[P(a_{(1)})] = \frac{1}{ {m \choose n}} \sum_{k=1}^{m-n+1} {m-k-1 \choose n-1} k = \frac{m-n}{1+n}$

n

$n$

n

$n$

Pekerjaan saat ini (2): mudah untuk menjalankan simulasi Monte Carlo.

simMaxGap[m_, n_] := Max[Differences[Sort[Join[RandomSample[Range[m], n], {0, m+1}]]]];
m = 1000; n = 1; trials = 100000;
SmoothHistogram[Table[simMaxGap[m, n], {trials}], Filling -> Axis,
Frame -> {True, True, False, False},
FrameLabel -> {"k (Max gap)", "Probability"},
PlotLabel -> StringForm["m=``,n=``,smooth histogram of maximum map for `` trials", m, n, trials]][![enter image description here][1]][1]

— AaronBecker
sumber

Dengan kondisi ini Anda harus memiliki n <= m. Saya pikir Anda ingin g = {a_ (1), a_ (2) -a_ (1), ..., a_ (n) -a_ (n-1)}. Apakah memilih secara acak berarti memilih setiap angka dengan probabilitas 1 / m pada pengundian pertama? Karena Anda tidak mengganti probabilitas akan menjadi 1 / (m-1) pada detik dan seterusnya ke 1 pada draw mth jika n = m. Jika n <m ini akan berhenti lebih awal dengan undian terakhir yang memiliki probabilitas 1 / (m- (n-1)) pada undian ke-n.

— Michael R. Chernick

Deskripsi asli Anda tentang tidak masuk akal, karena (saya percaya) Anda mengubah dua subskrip. Harap verifikasi bahwa saya mengedit sesuai dengan niat Anda: khususnya, silakan konfirmasi bahwa Anda berarti untuk itu menjadi kesenjangan, yang adalah yang pertama.

g

$g$

n

$n$

a_{(1)}

$a_{(1)}$

— Whuber

@ung saya pikir ini adalah penelitian, bukan belajar sendiri

— Glen_b -Reinstate Monica

Saya pikir ukuran gap minimum dan maksimum Anda harus dan . Ukuran celah minimum adalah ketika bilangan bulat berturut-turut dipilih, dan ukuran celah maksimum terjadi ketika Anda memilih dan bilangan bulat pertama (atau dan )

1

$1$

m - n + 1

$m-n+1$

m

$m$

n - 1

$n-1$

1, \dots, n - 1

$1,\dots,n-1$

1

$1$

m - n + 2, \dots, m

$m-n+2,\dots,m$

— probabilityislogic

Terima kasih Michael Chernick dan probabilityislogic, koreksi Anda telah dibuat. Terima kasih @whuber untuk membuat koreksi!

— AaronBecker

Misalkan adalah peluang minimum, , sama dengan ; yaitu, sampel terdiri dari dan subset dari . Ada himpunan bagian seperti itu dari subset yang kemungkinan besar sama, dari mana $f(g;n,m)$ $a_{(1)}$ $g$ $g$ $n-1$ $\{g+1,g+2,\ldots,m\}$ $\binom{m-g}{n-1}$ $\binom{m}{n}$

Pr (a_{(1)} = g = f (g; n, m) = \frac{(\binom{m - g}{n - 1})}{(\binom{m}{n})} .

$\Pr(a_{(1)}=g = f(g;n,m) = \frac{\binom{m-g}{n-1}}{\binom{m}{n}}.$

Menambahkan untuk semua nilai yang mungkin dari lebih besar dari menghasilkan fungsi survival $f(k;n,m)$ $k$ $g$

Pr (a_{(1)} > g) = Q (g; n, m) = \frac{(m - g) (\binom{m - g - 1}{n - 1})}{n (\binom{m}{n})} .

$\Pr(a_{(1)} \gt g) = Q(g;n,m)= \frac{(m-g)\binom{m-g-1}{n-1}}{n \binom{m}{n}}.$

Biarkan menjadi variabel acak yang diberikan oleh celah terbesar: $G_{n,m}$

G_{n, m} = max (a_{(1)}, a_{(2)} - a_{(1)}, \dots, a_{(n)} - a_{(n - 1)}) .

$G_{n,m} = \max\left(a_{(1)}, a_{(2)}-a_{(1)}, \ldots, a_{(n)}-a_{(n-1)}\right).$

(Ini menjawab pertanyaan yang awalnya dibingkai, sebelum dimodifikasi untuk memasukkan celah antara dan .) $a_{(n)}$ $m$ Kami akan menghitung fungsi survivalnya dari mana seluruh distribusi mudah diperoleh. Metode ini adalah program dinamis yang dimulai dengan , yang jelas itu

P (g; n, m) = Pr (G_{n, m} > g),

$P(g;n,m)=\Pr(G_{n,m}\gt g),$

G_{n, m}

$G_{n,m}$

n = 1

$n=1$

\begin{matrix} (1) & P (g; 1, m) = Pr (G_{1, m} > 1) = \frac{m - g}{m}, g = 0, 1, \dots, m . \end{matrix}

$P(g;1,m) = \Pr(G_{1,m} \gt 1) = \frac{m-g}{m},\ g=0, 1, \ldots, m.\tag{1}$

Untuk , perhatikan bahwa acara adalah gabungan yang tidak terpisahkan dari acara tersebut $n\gt 1$ $G_{n,m}\gt g$

a_{1} > g,

$a_{1} \gt g,$

di mana jarak pertama melebihi , dan memisahkan peristiwa $g$ $g$

a_{1} = k and G_{n - 1, m - k} > g, k = 1, 2, \dots, g

$a_{1}=k\text{ and } G_{n-1,m-k} \gt g, \ k=1, 2, \ldots, g$

di mana celah pertama sama dengan dan kesenjangan lebih besar dari terjadi kemudian dalam sampel. Hukum Probabilitas Total menegaskan probabilitas kejadian ini ditambah, dari mana $k$ $g$

\begin{matrix} (2) & P (g; n, m) = Q (g; n, m) + \sum_{k = 1}^{g} f (k; n, m) P (g; n - 1, m - k) . \end{matrix}

$P(g;n,m) = Q(g;n,m) + \sum_{k=1}^g f(k;n,m) P(g;n-1,m-k).\tag{2}$

Memperbaiki dan meletakkan array dua arah yang diindeks oleh dan , kita dapat menghitung dengan menggunakan untuk mengisi baris pertama dan untuk mengisi setiap baris berturut-turut menggunakan operasi per baris. Akibatnya tabel dapat diselesaikan dalam operasi dan semua tabel untuk hingga dapat dibangun dalam operasi . $g$ $i=1,2,\ldots,n$ $j=1,2,\ldots,m$ $P(g;n,m)$ $(1)$ $(2)$ $O(gm)$ $O(gmn)$ $g=1$ $g=m-n+1$ $O(m^3n)$

Grafik ini menunjukkan fungsi survival untuk . Ketika meningkat, grafik bergerak ke kiri, sesuai dengan peluang penurunan kesenjangan besar. $g\to P(g;n,64)$ $n=1,2,4,8,16,32,64$ $n$

Rumus tertutup untuk dapat diperoleh dalam banyak kasus khusus, terutama untuk besar , tetapi saya belum dapat memperoleh rumus tertutup yang berlaku untuk semua . Perkiraan yang baik sudah tersedia dengan mengganti masalah ini dengan masalah analog untuk variabel seragam kontinu. $P(g;n,m)$ $n$ $g,n,m$

Akhirnya, harapan diperoleh dengan menjumlahkan fungsi survivalnya mulai dari : $G_{n,m}$ $g=0$

E (G_{n, m}) = \sum_{g = 0}^{m - n + 1} P (g; n, m) .

$\mathbb{E}(G_{n,m}) = \sum_{g=0}^{m-n+1} P(g;n,m).$

Plot kontur harapan ini menunjukkan kontur pada , lulus dari gelap ke terang. $2, 4, 6, \ldots, 32$

— whuber
sumber

Saran: baris "Biarkan menjadi variabel acak yang diberikan oleh celah terbesar:", harap tambahkan celah terakhir . Plot harapan Anda cocok dengan simulasi Monte Carlo saya.

G_{n, m}

$G_{n,m}$

m + 1 - a_{n}

$m+1-a_{n}$

— AaronBecker