Bagaimana , koordinat kutub, didistribusikan ketika dan kapan ?

Biarkan koordinat Cartesian dari titik acak dipilih st . $x,y$ $(x,y) \sim U(-10,10) \times U(-10,10)$

Dengan demikian, jari-jari, , tidak merata seperti yang tersirat oleh 's pdf . $\rho = \sqrt{x^2 + y^2}$ $\rho$

Meskipun demikian saya berharap hampir seragam, tidak termasuk artefak karena sisa 4 di tepi: $\theta = \arctan{\frac{y}{x}}$

Berikut ini adalah fungsi kepadatan probabilitas yang dihitung secara grafis dari dan : $\theta$ $\rho$

Sekarang jika saya membiarkan didistribusikan st maka tampaknya terdistribusi secara merata: $x,y$ $x,y \sim N(0,20^2)\times N(0,20^2)$ $\theta$

Mengapa tidak seragam ketika dan seragam ketika ? $\theta$ $(x,y) \sim U(-10,10) \times U(-10,10)$ $x,y \sim N(0,20^2)\times N(0,20^2)$

Kode Matlab yang saya gunakan:

number_of_points = 100000;
rng('shuffle')

a = -10;
b = 10;
r = (b-a).*randn(2,number_of_points);
r = reshape(r, [2,number_of_points]);
I = eye(2);
e1 = I(:,1); e2 = I(:,2);
theta = inf*ones(1,number_of_points);
rho = inf*ones(1,number_of_points);

for i=1:length(r(1,:))
    x = r(:,i);
    [theta(i),rho(i)] = cart2pol(x(1),x(2));        
end

figure
M=3;N=1; bins = 360;
subplot(M,N,1); 
histogram(rad2deg(theta), bins)
title('Polar angle coordinate p.d.f');

subplot(M,N,2); 
histogram(rho, bins);
title('Polar radius coordinate p.d.f');

subplot(M,N,3); 
histogram(r(:));
title('The x-y cooridnates distrbution (p.d.f)');

Mengganti baris ke-3: r = (b-a).*randn(2,number_of_points);dengan r = (b-a).*randn(2,number_of_points) +a ;akan mengubah distribusi dari normal ke seragam. $(x,y)$

— 0x90
sumber

Pertanyaannya terlihat lebih cantik dan lebih cantik dengan setiap pengeditan dan judul pertanyaannya lebih jelas dan lebih ringkas. Bagus @ 0x90.

— Michael R. Chernick

+1. Sangat menarik bahwa distribusi normal adalah satu-satunya yang mengarah ke sudut terdistribusi secara seragam (yaitu distribusi 2D simetris rotasi), lihat stats.stackexchange.com/a/255417/28666 .

— Amoeba berkata Reinstate Monica

Jawaban:

Anda mengacu pada transformasi dari sepasang varian independen ke representasi polar (jari-jari dan sudut), dan kemudian melihat distribusi marginal . $(X,Y)$ $(R,\theta)$ $\theta$

Saya akan menawarkan penjelasan yang agak intuitif (meskipun derivasi matematis dari kepadatan pada dasarnya melakukan apa yang saya uraikan secara informal).

Perhatikan bahwa jika Anda skala dua variabel, X dan Y oleh beberapa skala umum (misalnya pergi dari U (-1,1) ke U (-10,10) atau dari N (0,1) ke N (0,20) pada kedua variabel secara bersamaan) yang tidak membuat perbedaan pada distribusi sudut (hanya mempengaruhi skala distribusi jari-jari). Jadi mari kita pertimbangkan kasus unit saja.

Pertama-tama pertimbangkan apa yang terjadi dengan kasing seragam. Perhatikan bahwa distribusinya seragam di atas satuan kuadrat, sehingga kepadatan probabilitas di wilayah yang terkandung dalam sebanding dengan luas wilayah. Secara khusus, lihat kepadatan yang terkait dengan elemen sudut, dekat horizontal (dekat sudut ) dan pada diagonal (dekat sudut ): $[-1,1]^2$ $d\theta$ $\theta=0$ $\theta=\pi/4$

Jelas elemen probabilitas (yaitu area) yang sesuai dengan elemen sudut ( ) lebih besar ketika sudutnya dekat dengan salah satu diagonal. Memang pertimbangkan untuk menuliskan lingkaran di dalam kotak; area yang direntang oleh sudut kecil yang diberikan di dalam lingkaran adalah konstan, dan kemudian bagian di luar lingkaran tumbuh ketika kita mendekati diagonal, di mana ia pada titik maksimum. $df_\theta$ $d\theta$

Ini sepenuhnya menjelaskan pola yang Anda lihat dalam simulasi.

Memang, kita dapat melihat bahwa kerapatan harus proporsional dengan panjang segmen dari pusat persegi ke ujungnya; trigonometri sederhana sudah cukup untuk memperoleh kerapatan dari sana dan kemudian mudah untuk menemukan konstanta yang diperlukan untuk membuat kerapatan berintegrasi ke 1.

[Sunting: menambahkan bit ini selanjutnya untuk membahas radius, karena pertanyaan telah berubah sejak jawaban awal saya.]

Perhatikan bahwa jika kita memiliki distribusi yang seragam di atas lingkaran satuan (yaitu yang kita tulis di alun-alun sebelumnya) maka kepadatan jari-jari untuk itu akan sebanding dengan jari-jari (pertimbangkan luas elemen annular kecil lebar di radius - yaitu antara dan - memiliki luas proporsional dengan ). Kemudian ketika kita melewati di luar lingkaran, daerah annular baru dengan jari-jari lebih besar hanya mendapatkan kontribusi kepadatan dari bagian di alun-alun, sehingga kepadatan berkurang (awalnya cukup cepat, kemudian lebih lambat) antara dan . (Sekali lagi, pengertian geometris yang cukup sederhana cukup untuk mendapatkan bentuk fungsional kepadatan jika diperlukan.) $dr$ $r$ $r$ $r+dr$ $r$ $1$ $\sqrt 2$

Sebaliknya, jika distribusi sambungan simetris secara rotasi tentang asal maka elemen probabilitas pada beberapa sudut tidak tergantung pada sudut (ini pada dasarnya adalah sebuah tautologi!). Distribusi bivariat dari dua standar Gaussians secara simetris berputar tentang asal:

(kode untuk gambar ini berdasarkan kode Elan Cohen di sini tetapi ada alternatif yang bagus di sini , dan sesuatu di antara keduanya di sini )

Akibatnya volume yang terkandung dalam beberapa sudut adalah sama untuk setiap , sehingga kepadatan yang terkait dengan sudut adalah seragam pada . $d\theta$ $\theta$ $[0,2\pi)$

[Trik polar biasanya digunakan untuk mengintegrasikan kerapatan normal di atas garis nyata dapat digunakan untuk mengetahui bahwa kerapatan jari-jari kuadrat adalah eksponensial negatif, dan dari sana kerapatan jari-jari mudah diidentifikasi dengan argumen transformasi sederhana dari fungsi distribusi]

— Glen_b -Reinstate Monica
sumber

Keempat paku dalam distribusi memang karena empat sudut alun-alun . Perhatikan bahwa setiap distribusi simetris bola akan mengarah ke distribusi Seragam pada , dimulai dengan Seragam pada bola dan lingkaran yang berpusat pada .

θ

$\theta$

(- 10, 10)^{2}

$(-10,10)^2$

θ

$\theta$

(0, 0)

$(0,0)$

— Xi'an

+1. Sangat menarik bahwa distribusi normal adalah satu-satunya yang mengarah ke distribusi 2D simetris rotasi, lihat stats.stackexchange.com/a/255417/28666 . Ini mengejutkan saya.

— Amoeba berkata Reinstate Monica

@amoeba Ya, itu satu-satunya distribusi simetris bundar yang merupakan produk dari margin independen.

— Glen_b -Reinstate Monica

Saya pikir itu luar biasa. Pertimbangkan menyebutkannya dalam jawaban Anda!

— Amuba mengatakan Reinstate Monica

Saya akan menjawab pertanyaan tentang kasus normal yang mengarah ke distribusi seragam. Diketahui bahwa jika dan adalah independen dan terdistribusi normal, kontur kerapatan probabilitas konstan adalah sebuah lingkaran pada bidang . Jari-jari $X$ $Y$ $x-y$ memilikidistribusi Rayleigh. Untuk diskusi yang baik tentang ini, artikel wikipedia berjudul Distribusi Rayleigh. $R= \sqrt{X^2+ Y^2}$

Sekarang mari kita lihat variabel acak dan menggunakan koordinat kutub. $X$ $Y$

$X = r\cos(\theta)$ $Y = r \sin(\theta)$ $X^2 +Y^2= r^2$ $\theta$ $(0,2 \pi)$ $r$ $X$ $Y$ $0$

$X$ $N(0,1)$ $Y$ $N(0,1)$

$f(x,y) = (1/2 \pi)\exp[(-[x^2 +y^2])/2]$ $g(r, \theta)$ $x = r \sin(\theta)$ $y = r \cos(\theta)$ $r= \sqrt{x^2 + y^2}$ $\theta = \arctan(x/y)$ $f(x,y)$ $g(r, \theta)$ $r \exp[(-r^2)/(2 \pi)]$ $r\geq0$ $0\leq\theta\leq 2 \pi$ $r$ $r$ $1/(2 \pi)$

— Michael R. Chernick
sumber

Apa artinya adalah bahwa jika Anda melihat ketinggian kepadatan bivariat pada jarak radial tetap dari pusat (dalam hal ini asalnya) itu akan menjadi nilai yang sama pada semua titik pada lingkaran itu.

— Michael R. Chernick

math.hkbu.edu.hk/~hpeng/stat3710/Lecture_note3.pdf

— 0x90

@ 0x90 Ya, tautan Anda menunjukkan salah satu cara untuk melihatnya adalah dengan melihat bentuk kuadratik dalam eksponen kerapatan. Jadi secara umum untuk pengaturan normal bivariat yang eksponen ke konstanta menentukan kontur kerapatan konstan dan persamaan itu adalah salah satu elips. dalam kasus khusus ketika matriks kovarians adalah matirix identitas skala, elips menyederhanakan menjadi lingkaran.

— Michael R. Chernick

X, Y

$X,Y$

0

$0$

Cauchy (0, 1)

$\operatorname{Cauchy}(0,1)$

\arctan

$\arctan$

\arctan (X / Y)

$\arctan(X/Y)$

@ Francis Sebagian besar saya menghargai editing menyeluruh Anda dari semua persamaan saya. Saya juga ingin mengatakan bahwa komentar Anda di atas jelas menunjukkan pendekatan imajinatif untuk menyelesaikan masalah keseragaman dengan theta. Saya yakin beberapa orang akan setuju bahwa ini lebih mudah.

— Michael R. Chernick

$\theta$ $(X,Y)$ $[-1,1]\times[-1,1]$ $1 \over 4$ $0$ $1 \over 4$

Wilayah yang menarik untuk pertanyaan kami adalah sektor merah pada gambar ini:

$\theta$ $\theta + d\theta$ $\theta$ $\theta + d\theta$ $\theta$

$\theta\in \left[ -{\pi \over 4}, {\pi\over 4}\right]$ $\pi\over 2$

$1\over \cos\theta$

\frac{1}{\cos (θ + d θ)} = \frac{1}{\cos θ} + \frac{\sin θ}{\cos^{2} θ} d θ .

${1\over \cos(\theta + d\theta)} = {1\over \cos\theta} + {\sin \theta \over \cos^2\theta} d\theta.$

$a$ $b$ $\alpha$ ${1\over 2}ab\sin\alpha$

\frac{1}{2} (\frac{1}{\cos θ}) (\frac{1}{\cos θ} + \frac{\sin θ}{\cos^{2} θ} d θ) \sin d θ = \frac{d θ}{2 \cos^{2} θ}

${1\over 2} \left({1\over \cos\theta} \right) \left({1\over \cos\theta} + {\sin \theta \over \cos^2\theta} d\theta\right) \sin d\theta = {d\theta \over 2\cos^2 \theta}$

d θ

$d\theta$

\sin d θ = d θ

$\sin d \theta= d\theta$

$\theta$

\frac{1}{8 \cos^{2} θ}

${1\over 8 \cos^2 \theta}$

θ

$\theta$

[- \frac{π}{4}, \frac{π}{4}]

$\left[-{\pi\over 4},{\pi\over 4}\right]$

\frac{π}{2}

$\pi\over 2$

Verifikasi:

x <- runif(1e6, -1, 1)
y <- runif(1e6, -1, 1)
hist( atan2(y,x), freq=FALSE, breaks=100)
theta <- seq(-pi, pi, length=500)
lines(theta, 0.125/cos((theta + pi/4)%%(pi/2) - pi/4)**2, col="red" )

— Elvis
sumber