Peluang sampel bootstrap persis sama dengan sampel asli

Hanya ingin memeriksa beberapa alasan.

Jika sampel asli saya berukuran dan saya bootstrap, maka proses pemikiran saya adalah sebagai berikut: $n$

$\frac{1}{n}$ adalah peluang pengamatan apa pun yang diambil dari sampel asli. Untuk memastikan pengundian berikutnya bukan observasi sampel sebelumnya, kami membatasi ukuran sampel ke . Jadi, kita mendapatkan pola ini: $n-1$

\frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n - 1} \cdot \frac{1}{n - 2} \dots \frac{1}{n - (n - 1)} = \frac{1}{n!} .

$\frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n-1} \cdot \frac{1}{n-2} \cdots \frac{1}{n-(n-1)} = \frac{1}{n!}.$

Apakah ini benar? Saya tersandung mengapa itu tidak bisa sebagai gantinya. $(\frac{1}{n})^n$

— Jayant.M
sumber

Saya tidak yakin saya mengikuti Anda. Mengapa Anda ingin "memastikan undian berikutnya bukan sampel sebelumnya"? Dalam bootstrap, idenya adalah sampel dengan penggantian. Artinya, Anda lakukan ingin menjadi mungkin bahwa menarik berikutnya adalah sama seperti yang Anda sudah ditarik.

— gung - Reinstate Monica

tetapi bukankah itu berarti sampel bootstrap tidak sama dengan sampel asli?

— Jayant.

Aku tidak mengikutimu. Anda tidak perlu ingin sampel bot identik dengan sampel Anda, Anda hanya ingin memperlakukan sampel sebagai model populasi.

— gung - Reinstate Monica

Jadi pertanyaan saya adalah apakah kemungkinan sampel bootstrap sama dengan sampel asli. Saya tertarik pada bootstrap yang identik dengan sampel

— Jayant.

Maaf jika pertanyaan saya tidak jelas!

— Jayant.M

Perhatikan bahwa pada setiap posisi pengamatan ( ) kita dapat memilih salah satu dari pengamatan, jadi ada mungkin resamples (menjaga urutan di mana mereka ditarik) yang adalah "sampel yang sama" (yaitu berisi semua pengamatan asli tanpa pengulangan; ini mencakup semua cara pemesanan sampel yang kami mulai). $i=1, 2, ..., n$ $n$ $n^n$ $n!$ $n$

Misalnya, dengan tiga pengamatan, a, b dan c, Anda memiliki 27 kemungkinan sampel:

aaa aab aac aba abb abc aca acb acc 
baa bab bac bba bbb bbc bca bcb bcc 
caa cab cac cba cbb cbc cca ccb ccc

Enam di antaranya berisi masing-masing a, b dan c.

$n!/n^n$

Selain - perkiraan cepat dari probabilitas:

Pertimbangkan itu :

\sqrt{2 π} n^{n + \frac{1}{2}} e^{- n} \leq n! \leq e n^{n + \frac{1}{2}} e^{- n}

${\sqrt {2\pi }}\ n^{n+{\frac {1}{2}}}e^{-n}\leq n!\leq e\ n^{n+{\frac {1}{2}}}e^{-n}$

begitu

\sqrt{2 π} n^{\frac{1}{2}} e^{- n} \leq n! / n^{n} \leq e n^{\frac{1}{2}} e^{- n}

${\sqrt {2\pi }}\ n^{{\frac {1}{2}}}e^{-n}\leq n!/n^n \leq e\ n^{{\frac {1}{2}}}e^{-n}$

$n$

$n! \approx \sqrt{(2n+\frac13)\,\pi}n^ne^{-n}$ $\sqrt{(2n+\frac13)\pi}\,e^{-n}$ $n=3$ $n=1$

$(1-\frac{1}{n})^n$ $n$ $e^{-1}$

Untuk perincian, lihat
Mengapa rata-rata setiap sampel bootstrap berisi sekitar dua pertiga pengamatan?

— Glen_b -Reinstate Monica
sumber

a, b, c

$a,b,c$

a

$a$

Itu sudah tercakup dalam jawaban lain di situs tetapi saya telah menambahkannya di atas (secara singkat).

— Glen_b -Reinstate Monica

(\frac{1}{n})^{n}

$(\frac {1}{n})^n$

n!

$n!$

n = 1

$n=1$

n = 3

$n=3$

n = 2

$n=2$

n = 1

$n=1$