Bagaimana cara menginterpretasikan regresi saya dengan variabel yang dibedakan pertama?

Saya memiliki dua seri waktu:

Proksi untuk premi risiko pasar (ERP; garis merah)
Tingkat bebas risiko, diproksi dengan obligasi pemerintah (garis biru)

Proksi premium risiko dan tingkat bebas risiko dari waktu ke waktu

Saya ingin menguji apakah tingkat bebas risiko dapat menjelaskan ERP. Dengan ini, saya pada dasarnya mengikuti saran Tsay (2010, edisi ke-3, hal. 96): Financial Time Series:

Pas dengan model regresi linier dan periksa korelasi serial residu.
Jika seri residualnya adalah unit-root nonstationarity, ambil perbedaan pertama dari kedua variabel dependen dan penjelas.

Melakukan langkah pertama, saya mendapatkan hasil berikut:

Coefficients:
               Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)     6.77019    0.25103   26.97   <2e-16 ***
Risk_Free_Rate -0.65320    0.04123  -15.84   <2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Seperti yang diharapkan dari gambar, hubungan itu negatif dan signifikan. Namun, residual secara serial berkorelasi:

Fungsi ACF dari residu regresi tingkat bebas risiko pada ERP

Oleh karena itu, saya pertama-tama membedakan variabel dependen dan variabel penjelas. Inilah yang saya dapatkan:

Coefficients:
                Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)    -0.002077   0.016497  -0.126      0.9    
Risk_Free_Rate -0.958267   0.053731 -17.834   <2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Dan ACF residu terlihat seperti:

Fungsi ACF residu dari regresi tingkat bebas risiko pada ERP (berbeda)

Hasil ini terlihat hebat: Pertama, residu sekarang tidak berkorelasi. Kedua, hubungannya tampaknya lebih negatif sekarang.

Berikut adalah pertanyaan saya (Anda mungkin bertanya-tanya sekarang ;-) Regresi pertama, saya akan menafsirkan sebagai (masalah ekonometrik samping) "jika tingkat bebas risiko naik satu poin persentase, ERP turun 0,65 poin persentase." Sebenarnya, setelah merenungkan hal ini untuk sementara waktu, saya akan menafsirkan regresi kedua sama saja (sekarang menghasilkan 0,96 poin persentase jatuh). Apakah interpretasi ini benar? Rasanya aneh bahwa saya mengubah variabel saya, tetapi tidak harus mengubah interpretasi saya. Namun, jika ini benar, mengapa hasilnya berubah? Apakah ini hanya akibat dari masalah ekonometrik? Jika demikian, apakah ada yang tahu mengapa regresi kedua saya tampaknya lebih "baik"? Biasanya, saya selalu membaca bahwa Anda dapat memiliki korelasi palsu yang hilang setelah Anda melakukannya dengan benar. Sini,

regression time-series

— Christoph_J
sumber

Jawaban:

y_{t} = β_{0} + β_{1} x_{t} + β_{2} t + ε_{t} .

$\begin{equation*} y_t = \beta_0 + \beta_1 x_t + \beta_2 t + \epsilon_t. \end{equation*}$

y_{t - 1}

$y_{t-1}$

β_{0} + β_{1} x_{t - 1} + β_{2} (t - 1) + ϵ_{t - 1}

$\beta_0 + \beta_1 x_{t-1} + \beta_2 ({t-1}) + \epsilon_{t-1}$

y_{t - 1}

$y_{t-1}$

Δ y_{t} = β_{1} Δ x_{t} + β_{2} + Δ ε_{t} .

$\begin{equation*} \Delta y_t = \beta_1 \Delta x_t + \beta_2 + \Delta \epsilon_t. \end{equation*}$

Δ x

$\Delta x$

β_{1}

$\beta_1$

ε_{t} = \sum_{s = 0}^{t - 1} ν_{s},

$\begin{equation*} \epsilon_t = \sum_{s=0}^{t-1}{\nu_s}, \end{equation*}$

ν_{s}

$\nu_s$

$\epsilon$

Untuk alasan ini, penting untuk hanya proses perbedaan yang tidak stasioner karena unit root dan penggunaan detrending untuk apa yang disebut tren stasioner.

(Unit root menyebabkan varians seri berubah dan sebenarnya meledak seiring waktu; nilai yang diharapkan dari seri ini konstan, namun. Proses stasioner tren memiliki sifat yang berlawanan.)

— Charlie
sumber

Jawaban yang bagus, terima kasih atas penjelasannya. Itu sangat membantu.

— Christoph_J

+1 Kalimat terakhir adalah emas, dan saya berharap saya telah melihatnya dengan sangat jelas ketika saya pertama kali menemukan ide untuk membedakan.

— Wayne

ϵ

$\epsilon$

Poin bagus, @ cardinal. Pengeditan telah dilakukan. Saya berharap mereka mengklarifikasi hal-hal.

— Charlie

y

$y$

y

$y$

x

$x$

x

$x$

x

$x$

y

$y$

x

$x$

y_{t - 1}

$y_{t-1}$

Perbedaan pertama menghilangkan tren linier yang tampaknya bertahan dalam residu asli Anda. Sepertinya perbedaan pertama menghilangkan tren dalam residu dan Anda dibiarkan dengan residu yang pada dasarnya tidak berkorelasi. Saya berpikir bahwa mungkin tren residu menyembunyikan bagian dari hubungan negatif antara ERP dan tingkat bebas risiko dan itu akan menjadi alasan mengapa model menunjukkan hubungan yang lebih kuat setelah dibedakan.

— Michael R. Chernick
sumber