Membalikkan masalah ulang tahun dengan banyak tabrakan

Asumsikan Anda memiliki tahun alien dengan panjang yang tidak diketahui N. Jika Anda memiliki sampel acak alien tersebut dan beberapa dari mereka berbagi ulang tahun, dapatkah Anda menggunakan data ini untuk memperkirakan panjang tahun?

Misalnya, dalam sampel 100, Anda dapat memiliki dua kembar tiga (mis. Dua ulang tahun masing-masing dibagi oleh tiga alien) dan lima pasang dan delapan puluh empat lajang. Dalam memperkirakan N, minimum absolut adalah 91 dan maksimum tidak terikat, tetapi bagaimana saya akan menemukan nilai yang diharapkan masuk akal?

Asumsi termasuk hal-hal seperti "semua ulang tahun kemungkinan sama".

Tidak seperti pertanyaan lain yang dijawab di sini, ada tabrakan yang dikenal di ruangan itu. Setiap tahun yang cukup panjang akan memiliki kemungkinan kuat tidak ada tabrakan untuk ruang alien. Tetapi tahun-tahun yang sangat panjang akan memiliki peluang rendah dari setiap tabrakan, dan tahun-tahun pendek akan memiliki peluang rendah dari beberapa tabrakan, sehingga memberikan kisaran (teoretis) untuk panjang tahun yang paling mungkin.

estimation inference birthday-paradox

— Techhead
sumber

Jawaban saya untuk versi khusus dari pertanyaan ini siap digeneralisasi (menggunakan distribusi multinomial): lihat stats.stackexchange.com/questions/252813 .

— whuber

@ Techhead Dengan berbagai cara! Pendekatan yang jelas untuk estimasi parameter untuk menyebutkan kemungkinan maksimum.

— Glen_b -Reinstate Monica

Kemungkinan duplikat masalah ulang tahun terbalik: tidak ada pasangan dari 1 juta orang asing berbagi ulang tahun; berapa panjang tahun mereka?

— Stephan Kolassa

@whuber Saya melihat pertanyaan itu dan komentar Anda, tapi saya tidak melihat bagaimana menerapkan sebagian besar ke sampel dengan tabrakan yang dikenal. Tidak sulit untuk menemukan formulir yang diperluas, tetapi saya tidak tahu bagaimana saya akan menemukan jumlah logaritmik.

— Techhead

Saya setuju bahwa versi Anda cukup rumit sehingga tidak boleh ditutup sebagai duplikat.

— whuber

Jawaban:

Nilai ekspektasi dari distribusi dihitung sebagai . Untuk masalah ini, kita ingin menghitung distribusi diberikan beberapa kriteria tabrakan, atau menemukan diberikan beberapa kriteria tabrakan, di mana $E(X) = \sum {p_ix_i}$ $N$ $E(N) = \sum_{n=0}^{\infty}p_n n$ $p_n=P(N=n).$

Misalkan Anda memiliki beberapa kriteria tumbukan seperti yang disebutkan di atas, dan biarkan menjadi probabilitas bahwa kriteria tumbukan terpenuhi mengingat panjang tahun adalah Kemudian dapat ditemukan dengan hanya membagi jumlah cara kriteria tabrakan dapat dipenuhi dengan jumlah cara ulang tahun dapat diatur secara umum. Setelah ditemukan untuk setiap kemungkinan , maka satu-satunya bagian yang hilang adalah menerjemahkan ke $q_n$ $n.$ $q_n$ $q_n$ $n$ $q_n$ $p_n.$

Jika kita mengasumsikan bahwa sebanding dengan , maka Karena , dan $p_n$ $q_n$ $p_n= \alpha q_n.$ $\sum_{n=0}^{\infty} p_n=1$ $\alpha \sum_{n=0}^{\infty} q_n=1$ Karena itu, kita hanya perlu formula untukuntuk menyelesaikan masalah ini. $\alpha=\frac{1}{\sum_{n=0}^{\infty} q_n}.$ $q_n$

Sebagai contoh Anda, pertama mari kita temukan sejumlah cara kriteria tabrakan dapat terjadi mengingat Singleton alien pertama dapat mendarat kapan saja, jadi ada kemungkinan. Singleton berikutnya dapat mendarat pada hari apa saja kecuali hari ulang tahun alien pertama, jadi ada kemungkinan. Melengkapi ini untuk 84 lajang pertama, kita mendapatkan $N=n.$ $n$ $n-1$ $n(n-1)(n-2)...(n-83)$ kemungkinan cara ini bisa terjadi. Perhatikan bahwa kita juga memiliki 5 pasang dan 2 kembar tiga, sehingga alien "pertama" untuk setiap kelompok juga tidak boleh mendarat pada pasangan singleton. Ini mengarah ke cara alien ini tidak bertabrakan (sintaks kikuk adalah untuk generalisasi lebih mudah nanti). $n(n-1)(n-2)...(n-84-5-2 + 1)$

Berikutnya, alien kedua untuk pasangan atau triplet tertentu memiliki 91 pilihan, berikutnya memiliki 90, dll., Jumlah total cara ini dapat terjadi mengingat ulang tahun dari 91 alien pertama adalah . Anggota yang tersisa dari si kembar tiga harus jatuh pada hari ulang tahun pasangan, dan probabilitas yang terjadi adalah . Kami melipatgandakan probabilitas untuk semua ini bersama-sama untuk mendapatkan jumlah total cara yang mungkin untuk memenuhi kriteria tabrakan sebagai: $91(91-1)(91-2)...(91-7+1)$ $7*6$

r_{n} = n (n - 1) . . . (n - 84 - 5 - 2 + 1) (84 + 5 + 2) (84 + 5 + 2 - 1) . . . (84 + 1) (5 + 2) (5 + 1)

$r_n=n(n-1)...(n-84-5-2+1)(84+5+2)(84+5+2-1)...(84+1)(5+2)(5+1)$

Pada titik ini pola yang jelas, jika kita memiliki lajang, pasang, dan kembar tiga, kita ganti 84 dengan 5 dengan dan 2 dengan untuk mendapatkan formula umum. Saya pikir juga jelas bahwa jumlah cara yang mungkin untuk ulang tahun yang akan diatur secara umum adalah , di mana m adalah jumlah total alien dalam masalah. Oleh karena itu, probabilitas memenuhi kriteria tumbukan adalah jumlah cara untuk memenuhi kriteria tumbukan dibagi dengan jumlah cara alien bisa dilahirkan, atau $a$ $b$ $c$ $a,$ $b,$ $c$ $n^m$ . $q_n=\frac{r_n}{n^m}$

Hal menarik lainnya muncul dalam rumus . Biarkan $r_n$ , dan biarkanmenjadi bagian yang tersisa darisehingga. Perhatikan bahwatidak tergantung pada n, jadi kita cukup menulissebagai konstanta! Sejak, dan $y_n=n(n-1)...(n-(a+b+c)+1)=\frac{n!}{(n-(a+b+c))!}$ $z_n$ $r_n$ $r_n=y_nz_n$ $z_n$ $z_n=z$ $p_n=q_n/\sum_{i=0}^\infty q_i$ , kita bisa benar-benar faktordari jumlah penyebut. Pada titik ini, ia membatalkan dengan bagian dari pembilang untuk mendapatkan $q_n=\frac{zy_n}{n^m}$ $z$ . Kita dapat menyederhanakanlebih jauh jika kita membiarkan(atau ini dapat dianggap sebagai jumlah ulang tahun unik dalam kelompok alien), sehingga kita mendapatkan: $p_n=\frac{y_n}{n^m}/\sum_{i=0}^\infty (\frac{y_i}{i^m})$ $y_n$ $s=a+b+c$

p_{n} = \frac{\frac{n!}{(n - s)!}}{n^{m}} / \sum_{i = 0}^{\infty} (\frac{\frac{i!}{(i - s)!}}{i^{m}})

$p_n=\frac{\frac{n!}{(n-s)!}}{n^m}/\sum_{i=0}^\infty (\frac{\frac{i!}{(i-s)!}}{i^m})$

Sekarang kita memiliki rumus sederhana (cukup) untuk , dan oleh karena itu rumus sederhana (cukup) untuk , di mana satu-satunya asumsi yang dibuat adalah bahwa sebanding dengan (probabilitas pertemuan kriteria tabrakan diberikan bahwa ). Saya pikir ini adalah asumsi yang adil untuk dibuat, dan seseorang yang lebih pintar dari saya bahkan mungkin dapat membuktikan bahwa asumsi ini dikaitkan dengan setelah distribusi multinomial. Pada titik ini kita dapat menghitung $p_n$ $E(N)$ $P(N=n)$ $q_n$ $N=n$ $P(N=n)$ menggunakan metode numerik atau membuat beberapa asumsi aproksimasi, karena akan mendekati 0 ketika mendekati . $E(N)$ $p_n$ $n$ $\infty$

— Cody Maughan
sumber

Sepertinya Anda mengusulkan untuk menghitung nilai harapan berdasarkan fungsi kemungkinan daripada fungsi massa probabilitas. Apakah itu disengaja?

— Sextus Empiricus

$N$ $N$

Dalam jawaban ini saya ingin menuliskannya dengan lebih ringkas dan juga menyediakan cara untuk menghitung maksimum fungsi kemungkinan ini (daripada nilai yang diharapkan yang jauh lebih sulit untuk dihitung).

Fungsi kemungkinan untuk N

$a+2b+3c$ $n$ $a$ $b$ $c$

\begin{array}{ccl} r_{n} & = & \underset{\begin{array}{ccc} number of ways to \\ pick m unique birthdays \\ out of n days \end{array}}{\underset{⏟}{(\binom{n}{a + b + c})}} \underset{\begin{array}{ccc} number of ways to \\ distribute m birthdays \\ among groups of size a, b and c \end{array}}{\underset{⏟}{\frac{(a + b + c)!}{a! b! c!}}} \underset{\begin{array}{ccc} number of ordered ways to \\ arrange specific \\ single, duplicate, and triplicates \\ among the aliens \end{array}}{\underset{⏟}{\frac{(a + 2 b + 3 c)!}{1!^{a} 2!^{b} 3!^{c}}}} \\ = & \frac{n!}{(n - a - b - c)!} \times \frac{(a + 2 b + 3 c)}{a! b! c! 1!^{a} 2!^{b} 3!^{c}} \end{array}

$\begin{array}{ccl} r_n &=& \underbrace{{n}\choose{a+b+c}}_{\small\begin{array}{ccc}&\text{number of ways to} &\\ &\text{pick $m$ unique birthdays}& \\ &\text{out of $n$ days}&\end{array}} \underbrace{\frac{(a+b+c)!}{a!b!c!}}_{\small\begin{array}{ccc}&\text{number of ways to} &\\ &\text{distribute $m$ birthdays}& \\ &\text{among groups of size $a$, $b$ and $c$}&\end{array}} \underbrace{\frac{(a+2b+3c)!}{1!^a2!^b3!^c}}_{\small\begin{array}{ccc}&\text{number of ordered ways to} &\\ &\text{arrange specific }& \\&\text{single, duplicate, and triplicates}& \\ &\text{among the aliens }&\end{array}} \\ &=& \frac{n!}{(n-a-b-c)!} \times \frac{(a+2b+3c)}{a!b!c!1!^a2!^b3!^c} \end{array}$

$n$

\begin{array}{rcl} L (n | a, b, c) & = & n^{- (a + 2 b + 3 c)} \frac{n!}{(n - a - b - c)!} = n^{- m} \frac{n!}{(n - s)!} \\ \propto & P (a, b, c | n) \end{array}

$\begin{array}{rcl} \mathcal{L}(n|a,b,c) &=& n^{-(a+2b+3c)} \frac{n!}{(n-a-b-c)!} = n^{-m} \frac{n!}{(n-s)!}\\ & \propto & P(a,b,c|n) \end{array}$

$m$ $s$

Estimasi kemungkinan maksimum untuk N

$N$

Catat itu

L (n) = L (n - 1) {(\frac{n - 1}{n})}^{m} \frac{n}{n - s}

$\mathcal{L}(n) = \mathcal{L}(n-1) \left(\frac{n-1}{n}\right)^m\frac{n}{n-s}$

$n$

{(\frac{n - 1}{n})}^{m} \frac{n}{n - s} = 1

$\left(\frac{n-1}{n}\right)^m\frac{n}{n-s} = 1$

atau

s = n (1 - {(1 - 1 / n)}^{m})

$s = n \left(1-\left(1-1/n\right)^m \right)$

$n$ $x = 1/n$ $x$ $x=0$

s \approx \sum_{k = 0}^{l} (\binom{m}{k}) (- n)^{- k} + O (n^{- (l + 1)})

$s \approx \sum_{k=0}^l {{m}\choose{k}} (-n)^{-k} + \mathcal{O} \left( n^{-(l+1)} \right)$

$s \approx m - \frac{m(m-1)}{2 n}$

n_{1} \approx \frac{(\binom{m}{2})}{m - s}

$n_1 \approx \frac{ {{m}\choose{2}}}{m-s}$

$s \approx m - \frac{m(m-1)}{2 n} + \frac{m(m-1)(m-2)}{6 n^2}$

n_{2} \approx \frac{(\binom{m}{2}) + \sqrt{{(\binom{m}{2})}^{2} - 4 (m - s) (\binom{m}{3})}}{2 (m - s)}

$n_2 \approx \frac{ {{m}\choose{2}} + \sqrt{{{m}\choose{2}}^2- 4 (m-s){{m}\choose{3}} } }{2(m-s)}$

$m=100$ $s=91$ $n_1 \approx 550$ $n_2 \approx 515.1215$ $n=516.82$ $n=516$

— Sextus Empiricus
sumber