Cara membuat rantai markov dengan distribusi marginal gamma dan koefisien AR (1) dari

Saya ingin menghasilkan deret waktu sintetis. Rangkaian waktu harus berupa rantai markov dengan distribusi marginal gamma dan parameter AR (1) dari . Dapatkah saya melakukan ini hanya dengan menggunakan distribusi gamma sebagai istilah derau dalam model AR (1), atau apakah saya perlu menggunakan pendekatan yang lebih canggih?$\rho$

Orang mungkin menebak (begitu juga saya awalnya) bahwa ya, tetapi proses AR (1) akan memiliki parameter baru. Untuk bentuk dan skala , biarkan . Tulis .$a$$s$$g_t\sim \Gamma(a,s)$$\tilde{g}_t=g_t-E(g_t)$

Kemudian, suatu AR (1) dalam , juga dapat ditulis sebagai Ingat kembali dan . Dengan properti dari AR (1) -proses, dan Memecahkan sistem persamaan dari dua momen pertama distribusi gamma untuk dua parameternya menghasilkan parameter bentuk baru , dan .$g_t$$y_t=\rho y_{t-1}+g_t$

Namun argumen ini tidak lengkap karena tidak menunjukkan bahwa memang . Pada dasarnya, tuliskan representasi sehingga dapat dilihat sebagai seri tertimbang gamma diremehkan. Pembacaan saya terhadap posting seperti ini (lihat juga jawaban yang lebih baru lainnya) menunjukkan bahwa ini bukan varian gamma.$y_t$$\Gamma$$MA(\infty)$

Yang mengatakan, sedikit simulasi menunjukkan bahwa pendekatan tersebut menghasilkan perkiraan yang cukup baik:

n <- 50000

shape.u <- 2
scale.u <- 1
u <- rgamma(n,shape=shape.u,scale=scale.u)

rho <- 0.75
y <- arima.sim(n=n, list(ar=rho), innov = u)
hist(y, col="lightblue", freq = F, breaks = 40)

(Theoretical.mean <- shape.u*scale.u/(1-rho))
mean(y)
(Theoretical.Variance <- shape.u*scale.u^2/(1-rho^2))
var(y)

shape.y <- Theoretical.mean^2/Theoretical.Variance
scale.y <- Theoretical.Variance/Theoretical.mean

grid <- seq(0,15,0.05)  
lines(grid,dgamma(grid,shape=shape.y,scale=scale.y))

Saya sekarang memiliki jawaban untuk pertanyaan yang saya ajukan, tetapi itu membawa saya ke pertanyaan lebih lanjut.

Jadi, pertama, solusinya adalah sebagai berikut:

Untuk Rantai Markov stasioner dengan a $\Gamma[\alpha, p]$ distribusi marjinal, fungsi kepadatan probabilitas $P_t$ di $x$ diberikan oleh:

$f_{P_t}[x] = \frac{x^{p-1}\exp[-x/\alpha]}{\alpha^p\Gamma[p]} \quad x \geq 0$

kemudian pdf bersyarat dari $P_{t+1}$ di $x$ diberikan $ P_t = u adalah:

$f_{P_{t+1}|P_t}[x|u]=\frac{1}{\alpha(1-\rho)\rho^{(p-1)/2}}\left[\frac{x}{u}\right]^{(p-1)/2}\exp\left[-\frac{x+\rho u}{\alpha(1-\rho)}\right]I_{p-1}\left[\frac{2\sqrt{\rho x u}}{\alpha(1-\rho)}\right]$

dimana $I_\nu$menunjukkan fungsi Bessel yang dimodifikasi. Ini memberikan Rantai Markov dengan distribusi marginal gamma, dan struktur korelasi AR di mana$\rho(1)$ adalah $\rho$.

Rincian lebih lanjut dari ini diberikan dalam makalah yang sangat baik oleh David Warren, yang diterbitkan pada tahun 1986 di Journal of Hydrology, "Skewness Outflow dalam reservoir linier non-musiman dengan aliran yang terdistribusi gamma" (Volume 85, pp127-137; http: // www.sciencedirect.com/science/article/pii/0022169486900806# ).

Ini bagus, karena menjawab pertanyaan awal saya, namun, sistem yang ingin saya wakili dengan PDF ini memerlukan pembuatan seri sintetik. Jika parameter bentuk dan skala distribusi besar, maka ini mudah. Namun, jika saya ingin parameternya kecil maka saya tidak dapat menghasilkan seri dengan karakteristik yang sesuai. Saya menggunakan MATLAB untuk melakukan ini dan kodenya adalah sebagai berikut:

% specify parameters for distribution
p = 0.05;
a = 0.5;

% generate first value
u = gamrnd(p,a);

$ keep a version of the margins pdf
x = 0.00001:0.00001:6;

f = (x.^(p-1)).*(exp(-x./a))./((a.^p).*gamma(p));

% specify the correlation structure
rho = 0.5;

% store the first value
input(1,1) = u;

% generate 999 other cvalues using the conditional distribution
for i = 2:1:999

    i
    z = (2./(a.*(1-rho))).*sqrt(rho.*x.*u);

    PDF = (1./a).*(1./(1-rho)).*(rho.^(-(p-1)./2)).*((x./u).^((p-1)./2)).*...
           exp(-(x+rho.*u)./(a.*(1-rho))).*besseli(p-1,z);

    ycdf = cumsum(PDF,'omitnan')/sum(PDF,'omitnan');

    rn = rand;
    u = x(find(ycdf>rn,1));
    input(i,1) = u;

end

Jika saya menggunakan angka yang jauh lebih besar untuk parameter distribusi gamma maka marginal keluar tepat, tapi saya perlu menggunakan nilai kecil. Adakah pemikiran tentang bagaimana saya bisa melakukan ini?

Ada sejumlah cara untuk mendapatkan proses Markov urutan pertama dengan margin gamma. Referensi yang sangat baik tentang topik ini adalah makalah oleh GK Grunwald, RJ Hyndman dan LM Tedesko: Pandangan terpadu model AR (1) .

Seperti yang akan Anda lihat, "bentuk inovasi" klasik $y_t = \phi y_{t-1} + \varepsilon_t$ bukan cara termudah untuk menentukan transisi Markov $p(y_t \, \vert \, y_{t-1})$, kecuali kalau $\phi$diambil secara acak. Menggunakan distribusi yang dipilih dengan baik; Beta untuk$\phi$ dan Gamma untuk $\varepsilon_t$, seseorang dapat memperoleh margin gamma.

Proses AR (1) waktu kontinu yang terkenal dengan margin Gamma adalah proses derau-tembakan dengan langkah-langkah eksponensial, yang banyak digunakan misalnya dalam hidrologi dan berkaitan dengan proses Poisson. Ini dapat digunakan dengan sampling waktu diskrit juga, kemudian muncul sebagai koefisien acak AR (1) dengan distribusi tipe campuran untuk inovasi.

Ide yang diilhami kopula adalah mengubah proses Gaussian AR (1), katakanlah

Sedangkan proses yang dihasilkan $y_t$ akan memiliki properti Markov, tidak akan menjadi AR (1), namun, karena fungsi autokorelasi parsialnya tidak terputus untuk kelambatan yang lebih besar dari 1 seperti yang terlihat dalam simulasi berikut:

phi <- .5
x <- arima.sim(model=list(ar=phi),n=1e+6,sd=sqrt(1-phi^2))
y <- qgamma(pnorm(x), shape=.1)
par(mfrow=c(2,1))
acf(y)
pacf(y)

Jika sebaliknya membiarkan $x_t$ menjadi AR (p) dengan koefisien yang sesuai, maka mungkin $y_t$ dapat dibuat kira-kira AR (1), yaitu, pilih urutannya $p$ dan $\phi_1,\dots,\phi_p$ sedemikian rupa sehingga pacf dari $y_t$ menjadi cukup kecil untuk semua keterlambatan lebih tinggi dari 1. Tapi sekarang prosesnya $y_t$ tidak akan lagi memiliki properti Markov.