Bagaimana cara menunjukkan bahwa statistik yang memadai TIDAK minimal memadai?

Masalah pekerjaan rumah saya adalah memberikan contoh tandingan di mana statistik tertentu secara umum tidak cukup memadai. Terlepas dari rincian menemukan sampel tandingan tertentu untuk statistik khusus ini, ini menimbulkan pertanyaan bagi saya:

Pertanyaan: Bagaimana seseorang dapat merumuskan kondisi tidak menjadi statistik yang cukup minimal dengan cara yang memungkinkan untuk membuktikan bahwa statistik yang cukup memenuhi kondisi tersebut?

Bekerja sejauh ini: Definisi statistik minimum yang memadai di buku teks saya (Keener, Statistik Teoritis: Topik untuk Kursus Inti ) adalah sebagai berikut:

• Statistik $T$ iff cukup memadai $T$ memadai dan, untuk setiap statistik yang memadai $\tilde{T}$ ada fungsi $f$ seperti yang $T = f(\tilde{T})$ ae $\mathcal{P}$.

Perhatikan bahwa (ae $\mathcal{P}$) berarti bahwa set di mana kesetaraan gagal adalah set nol untuk setiap distribusi probabilitas $P$ dalam model statistik $\mathcal{P}$, $P \in \mathcal{P}$.

Mencoba meniadakan ini, saya tiba di:

• Statistik $T$adalah tidak minimal IFF yang cukup setidaknya satu dari berikut ini berlaku:
  1. $T$ Tidak cukup.
  2. Setidaknya ada satu statistik yang cukup $\tilde{T}$ yang tidak ada fungsinya$f$ seperti yang $T = f(\tilde{T})$ ae $\mathcal{P}$.

Jadi jika statistik adalah cukup, maka tampaknya seperti itu akan menjadi sangat sulit untuk menunjukkan bahwa tidak minimal cukup, bahkan jika tidak minimal cukup. (Karena seseorang harus menunjukkan 2. bukan 1., karena 1. adalah salah - tetapi 2. akan sangat sulit untuk ditampilkan karena, bahkan jika seseorang memiliki statistik sampel berlawanan)$\tilde{T}$dalam pikiran, satu masih harus menunjukkan tidak adanya setiap fungsi dengan properti itu. Dan ketidakberadaan seringkali sulit untuk ditunjukkan.)

Buku teks saya tidak memberikan kondisi yang setara (yaitu diperlukan dan memadai) untuk statistik menjadi statistik yang cukup memadai. Bahkan tidak memberikan alternatif kondisi yang diperlukan untuk statistik menjadi statistik yang cukup minimal (selain menjadi statistik yang cukup).

Oleh karena itu, untuk masalah pekerjaan rumah saya, jika saya tidak dapat menunjukkan bahwa statistiknya tidak mencukupi (karena memang demikian), lalu bagaimana saya bisa menunjukkan bahwa itu tidak cukup memadai?

Seperti yang Anda nyatakan:

Jika ada $x1,x2∈X$ seperti yang $f(x1)=f(x2)$ tapi $g(x1)≠g(x2)$, kemudian $g$ tidak dapat ditulis sebagai fungsi dari $f$, yaitu tidak ada fungsi $h$ dengan $g=h∘f$.

Jadi, misalnya, dalam kasus di mana $X_1, ...., X_n$adalah variabel acak Bernoulli independen. Kita bisa buktikan itu$(x_1, ...., x_n)$ tidak cukup memadai dengan menunjukkan bahwa itu bukan fungsi dari $\sum x_i$. Ini jelas, karena fungsi harus dipetakan$1$ untuk keduanya $(1,0,0...,0,0,0)$ dan $(0,0,0...,0,0,1)$.

Saya telah memikirkan masalah ini beberapa baru-baru ini, dan inilah yang saya kemukakan.

Membiarkan $\Omega$menjadi ruang probabilitas, maka variabel acak $X$ adalah fungsi yang dapat diukur $X: \Omega \to \mathcal{X}$dimana $\mathcal{X}$ adalah ruang yang terukur ($\mathcal{X}$ telah ditunjuk $\sigma$aljabar, dan $X$ terukur sehubungan dengan ini $\sigma$-Aljabar dan $\sigma$-Aljabar aktif $\Omega$). The distribusi dari$X$ hanyalah ukuran mundurnya $\mathcal{X}$yaitu $\mathbb{P}_{\mathcal{X}}(A) = \mathbb{P}_{\Omega}(X^{-1}(A))$. Kemudian statistik dari$X$ adalah fungsi * yang dapat diukur $f: \mathcal{X} \to \mathcal{Y}$dimana $\mathcal{Y}$ adalah ruang terukur sewenang-wenang lainnya.

Diberikan dua statistik $f: \mathcal{X} \to \mathcal{Y}$, $g: \mathcal{X} \to \mathcal{Z}$, apa artinya untuk "$g$ menjadi fungsi dari $f$"?

Sejauh yang saya tahu, tampaknya berarti ada fungsi ** yang dapat diukur $h: \mathcal{Y} \to \mathcal{Z}$ seperti yang $g = h \circ f$, yaitu itu $g$dapat diperhitungkan melalui oleh$f$.

(Dengan kata lain, "$g$ harus didefinisikan dengan baik sebagai fungsi aktif $f(\mathcal{X}) \subseteq \mathcal{Y}$".)

Jadi kapan anjak piutang seperti itu mungkin? Mari kita pikirkan hubungan kesetaraan. Secara khusus, tentukan hubungan ekivalensi$\sim_f$ di $\mathcal{X}$ oleh $x_1 \sim_f x_2 \iff f(x_1) = f(x_2)$, juga, mendefinisikan hubungan ekivalensi $\sim_g$ di $\mathcal{X}$ oleh $x_1 \sim_g x_2 \iff g(x_1) = g(x_2)$.

Kemudian agar $g$ menjadi faktor oleh $f$, hubungan kesetaraan $\sim_f$ dan $\sim_g$ harus kompatibel satu sama lain, dalam arti *** itu untuk apa pun $x_1, x_2 \in \mathcal{X}$, $x_1 \sim_f x_2 \implies x_1 \sim_g x_2$yaitu $g$ tidak dapat mengambil dua elemen yang setara di bawah $f$ dan memetakannya ke nilai yang tidak setara di bawah $g$yaitu$g$ tidak dapat membatalkan pengurangan informasi yang sebelumnya dilakukan oleh $f$".

Dengan kata lain, $g$ harus didefinisikan dengan baik sebagai fungsi aktif $\mathcal{X}/\sim_f \cong f(\mathcal{X})$, Yaitu ada harus ada fungsi $\tilde{g}: \mathcal{X}/\sim_f \to \mathcal{Z}$ seperti yang $g = \tilde{g} \circ \pi_f$dimana $\pi_f$ adalah proyeksi kanonik $\mathcal{X} \to \mathcal{X}/\sim_f$. (Bagi mereka yang tidak nyaman dengan abstrak yang tidak masuk akal,$\pi_f$ pada dasarnya $f$, dan $\tilde{g}$ pada dasarnya $h$. Formulasi di atas hanya membuat analogi dengan situasi lain lebih jelas.)

Dengan kata-kata sesederhana mungkin, $g$ dapat ditulis sebagai fungsi dari $f$ jika dan hanya jika, untuk apa pun $x_1, x_2 \in \mathcal{X}$, $f(x_1) = f(x_2) \implies g(x_1) = g(x_2)$.

Sebagai contoh, ambil $\mathcal{X} = \mathcal{Y} = \mathcal{Z} = \mathbb{R}$ dan $X$ variabel acak bernilai nyata yang sewenang-wenang, kemudian $g: x \mapsto x^2$ dapat ditulis sebagai fungsi dari $f: x \mapsto x$, tetapi tidak sebaliknya, karena $x_1 = x_2 \implies x_1^2 = x_2^2$tapi $1^2 = (-1)^2$ tapi $1 \not= -1$.

Secara khusus, asumsikan bahwa setiap kelas kesetaraan di bawah $\sim_f$ adalah singleton (mis $f$bersifat injeksi ). Kemudian$g$ selalu dapat ditulis sebagai fungsi dari $f$, sejak $\mathcal{X}/\sim_f \cong \mathcal{X}$yaitu $f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$ maksudnya $x_1 = x_2 \iff f(x_1) = f(x_2)$ (secara umum, untuk belum tentu suntik $f$, hanya satu arah berlaku), jadi kondisi kita menjadi $x_1 = x_2 \implies g(x_1) = g(x_2)$, Yang sepele puas untuk apa pun $g: \mathcal{X} \to \mathcal{Z}$. (Untuk mendefinisikan$h$, ia dapat melakukan apapun yang diinginkannya $\mathcal{Y} \setminus f(\mathcal{X})$ selama itu bisa diukur, dan kemudian untuk apa pun $y \in f(\mathcal{X})$, yaitu sedemikian rupa sehingga $y = f(x)$ untuk beberapa $x \in \mathcal{X}$, tentukan $h$ menjadi $h: y = f(x) \mapsto g(x)$. Ini didefinisikan dengan baik kapan$f$bersifat suntik karena ada yang unik $x \in \mathcal{X}$ seperti yang $f(x) = y$. Lebih umum, ini hanya ditentukan kapan, terlepas dari mana$x$ kami memilih masuk $f^{-1}(y)$, $g(x)$ masih memiliki nilai yang sama, yaitu $f(x_1)=f(x_2)\ (=y) \implies g(x_1)=g(x_2)$.)

Juga, melihat Teorema 3.11 dalam Keener, pernyataannya agak kikuk, tetapi berpikir dalam istilah di atas, saya percaya itu dapat ditulis ulang sebagai:

Seharusnya $T$adalah statistik yang memadai ****. Maka kondisi yang cukup untuk$T$ menjadi cukup minimal adalah bahwa ia dapat ditulis sebagai fungsi dari rasio kemungkinan.

Dari sini menjadi jelas bahwa rasio kemungkinan itu sendiri harus minimal.

Ini juga mengarah pada kesimpulan bahwa:

Jika ada $x_1, x_2 \in \mathcal{X}$ seperti yang $f(x_1)=f(x_2)$ tapi $g(x_1) \not= g(x_2)$, kemudian $g$bisa tidak ditulis sebagai fungsi$f$, Yaitu terdapat ada fungsi$h$ dengan $g = h \circ f$.

Jadi kondisinya sebenarnya tidak sesulit yang saya tunjukkan.

* Keener tidak membahas masalah apakah suatu statistik perlu diukur atau hanya fungsi yang sewenang-wenang atau tidak. Namun, saya cukup yakin bahwa statistik harus menjadi fungsi yang terukur, karena kalau tidak kita tidak bisa mendefinisikan distribusi untuk itu , yaitu ukuran mundur.

**Jika $h$ tidak terukur, kami akan memiliki kontradiksi karena keduanya $f$ dan $g$dapat diukur dan komposisi fungsi yang terukur dapat diukur kembali. Setidaknya,$h$ harus dapat diukur terbatas pada $f(\mathcal{X}) \subseteq \mathcal{Y}$, meskipun saya pikir ini akan berarti dalam kebanyakan kasus itu masuk akal $h$ harus menyetujui $f(\mathcal{X})$ dengan fungsi yang dapat diukur pada semua $\mathcal{Y}$ (mengambil $h|_{f(\mathcal{X})}$ di $f(\mathcal{X})$ dan misalnya $z$ di $Y \setminus f(\mathcal{X})$ jika ada titik terukur $z \in \mathcal{Z}$, perhatikan bahwa keduanya $f(\mathcal{X})$ dan $Y \setminus f(\mathcal{X})$ harus dapat diukur dalam $Y$) jadi wlog $h$ dapat diasumsikan terukur pada semua $\mathcal{Y}$.

*** Setidaknya ini perlu dan cukup untuk keberadaan fungsi sewenang-wenang melalui faktor $g$ dan berakhir $f$, dan saya pikir ** menyiratkan bahwa jika fungsi sewenang-wenang itu ada, fungsi ini juga harus dapat diukur, karena keduanya $f$ dan $g$ adalah, yaitu benar-benar akan menjadi statistik $\mathcal{Y} \to \mathcal{Z}$.

**** Kondisi yang diberikan setara dengan $T$ cukup oleh teorema faktorisasi, 3.6.