Bagaimana kita bisa mengikat probabilitas bahwa variabel acak adalah maksimal?


21

Misalkan kita memiliki variabel acak independen , , X_n dengan sarana hingga \ mu_1 \ leq \ ldots \ leq \ mu_N dan varian \ sigma_1 ^ 2 , \ ldots , \ sigma_N ^ 2 . Saya mencari batasan bebas distribusi dengan kemungkinan bahwa setiap X_i \ neq X_N lebih besar dari semua X_j lainnya , j \ neq i .NX1Xnμ1μNσ12σN2XiXNXjji

Dengan kata lain, jika untuk kesederhanaan kami menganggap distribusi Xi adalah kontinu (sedemikian sehingga P(Xi=Xj)=0 ), saya mencari batasan pada:

P(Xi=maxjXj).
Jika N=2 , kita dapat menggunakan ketidaksetaraan Chebyshev untuk mendapatkan:
P(X1=maxjXj)=P(X1>X2)σ12+σ22σ12+σ22+(μ1μ2)2.
Saya ingin menemukan batas sederhana (tidak harus ketat) untuk N umum N, tetapi saya belum dapat menemukan (secara estetika) hasil yang menyenangkan untuk N umum N.

Harap dicatat bahwa variabel tidak dianggap iid. Setiap saran atau referensi untuk pekerjaan terkait dipersilakan.


Pembaruan: ingat bahwa dengan asumsi, μjμi . Kita kemudian dapat menggunakan batas di atas untuk sampai pada:

P(Xi=maxjXj)minj>iσi2+σj2σi2+σj2+(μjμi)2σi2+σN2σi2+σN2+(μNμi)2.
Ini menyiratkan:
(μNμi)P(Xi=maxjXj)(μNμi)σi2+σN2σi2+σN2+(μNμi)212σi2+σN2.
Ini, pada gilirannya, menyiratkan:
i=1NμiP(Xi=maxjXj)μNN2i=1N1(σi2+σN2).
Saya sekarang bertanya-tanya apakah ini terikat dapat ditingkatkan untuk sesuatu yang tidak bergantung linear pada N . Misalnya, apakah yang berikut ini berlaku:
i=1NμiP(Xi=maxjXj)μNi=1Nσi2?
Dan jika tidak, apa yang bisa menjadi contoh tandingan?

3
Ini terikat dapat lebih ketat jika Anda menggunakan indeks yang memberi Anda lebih kecil atas terikat bukan . Perhatikan bahwa nilai ini tergantung pada mean dan varians. NjN

5
@MichaelChernick: Saya tidak percaya itu benar. Misalkan kita memiliki tiga distribusi seragam pada . Kemudian, jika saya tidak salah, , sedangkan . Saya tidak tahu apakah Anda bermaksud menulis , tetapi kemudian contoh yang sama menunjukkan bahwa itu masih tidak valid. P ( X 1 < max j X j ) = 2 / 3 P ( X 1 < X 2 ) = P ( X 1 < X 3 ) = 1 / 2 P ( X i > max j X j )[0,1]P(X1<maxjXj)=2/3P(X1<X2)=P(X1<X3)=1/2P(Xi>maxjXj)
MLS

2
@Michael: Itu masih tidak benar, sayangnya. Peristiwa untuk diperbaiki tidak independen. Aj={Xi>Xj} i
kardinal

2
@ cardinal: Antara lain, ini terkait dengan bandit multi-bersenjata. Jika Anda memilih lengan berdasarkan hadiah sebelumnya, seberapa besar probabilitas Anda memilih lengan terbaik (yaitu dalam notasi di atas), dan dapatkah kita mengikat kerugian yang diharapkan untuk memilih sub lengan-optimal? P(XN=maxjXj)
MLS

2
Tunjukkan silang ke MathOverflow: mathoverflow.net/questions/99313
kardinal

Jawaban:


1

Anda dapat menggunakan ketidaksetaraan Chebyshev multivarian.

Kasus dua variabel

Untuk satu situasi, vs , saya tiba di situasi yang sama dengan komentar Jochen pada 4 November 2016X1X2

1) Jika makaμ1<μ2P(X1>X2)(σ12+σ22)/(μ1μ2)2

(Dan saya ingin tahu juga tentang derivasi Anda)

Penurunan persamaan 1

  • menggunakan variabel baruX1X2
  • mengubahnya sedemikian rupa sehingga memiliki rata-rata nol
  • mengambil nilai absolut
  • menerapkan ketidaksetaraan Chebyshev

P(X1>X2)=P(X1X2>0)=P(X1X2(μ1μ2)>(μ1μ2))P(|X1X2(μ1μ2)|>μ2μ1)σ(X1X2(μ1μ2))2(μ2μ1)2=σX12+σX22(μ2μ1)2

Kasus Multivarian

Ketidaksamaan dalam persamaan (1) dapat diubah menjadi kasus multivariat dengan menerapkannya ke beberapa variabel yang diubah untuk setiap (perhatikan bahwa ini berkorelasi).(XnXi)i<n

Solusi untuk masalah ini (multivarian dan berkorelasi) telah dijelaskan oleh I. Olkin dan JW Pratt. 'A Multivariate Tchebycheff Inequality' dalam Catatan Sejarah Statistik Matematika, volume 29 halaman 226-234 http://projecteuclid.org/euclid.aoms/1177706720

Perhatikan teorema 2.3

P(|yi|kiσi for some i)=P(|xi|1 for some i)(u+(ptu)(p1))2p2

di mana jumlah variabel, , dan .pt=ki2u=ρij/(kikj)

Teorema 3.6 memberikan batasan yang lebih ketat, tetapi kurang mudah untuk dihitung.

Edit

Ikatan yang lebih tajam dapat ditemukan menggunakan ketimpangan Cantelli multivariat . Ketidaksamaan itu adalah tipe yang Anda gunakan sebelumnya dan memberi Anda batasan yang merupakan lebih tajam dari .(σ12+σ22)/(σ12+σ22+(μ1μ2)2)(σ12+σ22)/(μ1μ2)2

Saya belum meluangkan waktu untuk mempelajari seluruh artikel, tetapi bagaimanapun, Anda dapat menemukan solusinya di sini:

AW Marshall dan I. Olkin 'Ketimpangan Satu Sisi dari Tipe Chebyshev' dalam Catatan Statistik Matematika volume 31 hal. 488-491 https://projecteuclid.org/euclid.aoms/1177705913

(catatan selanjutnya: Ketidaksetaraan ini adalah untuk korelasi yang sama dan bukan bantuan yang cukup. Tetapi bagaimanapun juga masalah Anda, untuk menemukan ikatan yang paling tajam, sama dengan ketidaksamaan Cantelli multivariat yang lebih umum. Saya akan terkejut jika solusinya tidak ada)


Bisakah Anda memberikan pernyataan yang jelas tentang Ketimpangan Chebyshev multivariat?
whuber

1
Saya telah mengedit solusi yang menyediakan seluruh teorema.
Sextus Empiricus

-1

Saya telah menemukan teorema yang dapat membantu Anda dan akan mencoba menyesuaikannya dengan kebutuhan Anda. Asumsikan Anda memiliki:

exp(tE(max1inXi))

Kemudian oleh ketidaksetaraan Jensen (karena exp (.) Adalah fungsi cembung), kita mendapatkan:

exp(tE(max1inXi))E(exp(tmax1inXi))=E(max1in exp(tXi))i=1nE(exp(tXi)

Sekarang untuk Anda harus memasukkan apa pun fungsi penghasil momen variabel acak (karena itu hanya definisi mgf). Kemudian, setelah melakukannya (dan berpotensi menyederhanakan istilah Anda), Anda mengambil istilah ini dan mengambil log dan membaginya dengan t sehingga Anda mendapatkan pernyataan tentang istilah . Kemudian Anda dapat memilih t dengan beberapa nilai arbitrer (terbaik sehingga istilahnya kecil sehingga ikatannya ketat).exp(tXiXiE(max1inXi)

Kemudian, Anda memiliki pernyataan tentang nilai yang diharapkan dari nilai maksimum di atas n rvs. Untuk mendapatkan sekarang pernyataan tentang probabilitas bahwa maksimum rv itu menyimpang dari nilai yang diharapkan ini, Anda bisa menggunakan ketidaksetaraan Markov (dengan asumsi bahwa rv Anda tidak negatif) atau rv lain yang lebih spesifik, berlaku untuk rv khusus Anda.

Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.