Penggunaan kehidupan nyata dari fungsi pembangkit momen

Dalam sebagian besar mata kuliah teori probabilitas dasar, fungsi menghasilkan momen yang Anda katakan (mgf) berguna untuk menghitung momen dari variabel acak. Khususnya harapan dan varians. Sekarang di sebagian besar program contoh yang mereka berikan untuk harapan dan varians dapat diselesaikan secara analitis menggunakan definisi.

Adakah contoh nyata dari distribusi di mana menemukan ekspektasi dan varians sulit dilakukan secara analitis sehingga penggunaan mgf diperlukan? Saya bertanya karena saya merasa tidak tahu persis mengapa mereka penting dalam kursus dasar.

Anda benar bahwa mgf tampaknya agak tidak termotivasi dalam kursus pengantar. Jadi, beberapa contoh penggunaan. Pertama, dalam masalah probabilitas diskrit seringkali kita menggunakan fungsi penghasil probabilitas, tetapi itu hanya pengemasan mgf yang berbeda, lihat Apa perbedaan antara fungsi penghasil momen dan fungsi penghasil probabilitas? . Pgf dapat digunakan untuk memecahkan beberapa masalah probabilitas yang mungkin sulit untuk diselesaikan jika tidak, untuk contoh terbaru di situs ini, lihat PMF dari jumlah percobaan yang diperlukan untuk dua kepala berturut-turut atau jumlah distribusi gamma dengan menjadi distribusi poisson$N$$N$. Beberapa aplikasi yang tidak terlalu jelas yang masih dapat digunakan dalam kursus pengantar, diberikan dalam Harapan kebalikan dari suatu variabel , Nilai yang diharapkan dari$1/x$ kapan $x$mengikuti distribusi Beta dan Untuk RV independen$X_1,X_2,X_3$, apakah $X_1+X_2\stackrel{d}{=}X_1+X_3$ berarti $X_2\stackrel{d}{=}X_3$? .

Jenis lain dari penggunaan adalah membangun perkiraan distribusi probabilitas, salah satu contohnya adalah pendekatan saddlepoint, yang mengambil titik awal logaritma natural dari mgf, yang disebut fungsi pembangkit kumulans. Lihat Bagaimana cara pendekatan saddlepoint bekerja? dan untuk beberapa contoh, lihat Batas untuk jumlah tertimbang dari variabel acak Poisson dan jumlah Generik dari variabel acak Gamma

Mgf juga dapat digunakan untuk membuktikan teorema limit, misalnya batas poisson dari distribusi binomial. Secara intuitif memahami mengapa distribusi Poisson adalah kasus pembatas dari distribusi binomial dapat dibuktikan melalui mgf.

Beberapa contoh (set latihan dengan solusi) penggunaan aktuaria dari mgf dapat ditemukan di sini: https://faculty.math.illinois.edu/~hildebr/370/370mgfproblemssol.pdf Cari di internet dengan "actuarial function menghasilkan momen" akan memberikan banyak contoh serupa. Aktuaris tampaknya menggunakan mgf untuk menyelesaikan beberapa masalah (yang muncul sebagai contoh dalam perhitungan premium) yang sulit dipecahkan sebaliknya. Salah satu contoh di bagian 3.5 halaman 21 dan buku-buku tentang teori risiko aktuaria . Salah satu sumber (perkiraan) mgf untuk aplikasi semacam itu bisa berupa mgf empiris (anehnya, saya tidak dapat menemukan satu pun posting di sini tentang fungsi-fungsi penghasil momen empiris).

Adakah contoh nyata dari distribusi di mana menemukan ekspektasi dan varians sulit dilakukan secara analitis sehingga penggunaan mgf diperlukan?

Ada banyak masalah di mana sulit untuk menemukan mean dan varians menggunakan rumus standar mereka sebagai jumlah / integral dari massa / kepadatan. Salah satu contoh di mana ini sulit, tetapi bukan tidak mungkin, adalah distribusi pengumpul kupon , yang memiliki fungsi massa probabilitas:

dimana fungsinya $S$menunjukkan angka Stirling dari jenis kedua . Jika Anda mencoba menggunakan metode standar di sini, Anda akan berakhir dengan rumus rekursif yang melibatkan angka-angka Stirling, dan ini tidak praktis untuk digunakan. Metode yang lebih sederhana untuk mendapatkan rata-rata dan varians adalah untuk mendapatkan fungsi pembangkit kumulans (logaritma fungsi pembangkit momen) yang tidak lagi berisi angka Stirling. Maka relatif sederhana untuk memperoleh kumulant distribusi. Saya sarankan Anda mencoba latihan ini melalui kedua metode untuk melihat apa yang saya maksud.