Nilai waktu tunggu yang diharapkan untuk bus pertama dari dua yang beroperasi setiap 10 dan 15 menit

19

Saya menemukan pertanyaan wawancara:

Ada kereta api merah yang datang setiap 10 menit. Ada kereta biru yang datang setiap 15 menit. Keduanya dimulai dari waktu acak sehingga Anda tidak memiliki jadwal. Jika Anda tiba di stasiun secara acak dan naik kereta apa pun yang datang lebih dulu, berapa waktu tunggu yang diharapkan?

probability random-variable expected-value

— Shengjie Zhang
sumber

3

Apakah kereta tiba tepat waktu tetapi dengan fase yang tidak terdistribusi merata, atau apakah mereka mengikuti proses poisson dengan sarana 10 menit dan 15 menit.

— Tilefish Poele

1

Yang pertama, bukan poisson.

— Shengjie Zhang

7

@ Tilefish membuat komentar penting yang harus diperhatikan semua orang. Tidak ada jawaban yang pasti. Anda harus mengasumsikan apa yang dimaksud "mulai dari waktu acak". (Apakah itu berarti mereka mulai secara bersamaan atau bahwa mereka mulai pada waktu yang tidak diketahui berbeda? Apa yang akan membenarkan memperlakukan "tidak diketahui" sebagai variabel acak dengan distribusi yang dikenal pasti?) Sebagai fungsi dari perbedaan fase mereka (yang penting hanya modulo 5 menit), jawabannya dapat bervariasi dari hingga . Distribusi seragam perbedaan fasa akan menghasilkan .

15 / 4

$15/4$

25 / 6

$25/6$

35 / 9

$35/9$

— whuber

@whuber semua orang sepertinya menafsirkan komentar OP seolah-olah dua bus dimulai pada dua waktu acak yang berbeda. Bahwa mereka akan mulai pada waktu acak yang sama tampak seperti pengambilan yang tidak biasa

— Aksakal

1

@Aksakal. Tidak semua orang: Saya tidak dan setidaknya satu jawaban di utas ini tidak - itu sebabnya kami melihat jawaban numerik yang berbeda. Selain itu, hampir tidak ada yang mengakui kenyataan bahwa mereka harus membuat interpretasi semacam itu dari pertanyaan untuk mendapatkan jawaban.

— whuber

15

Salah satu cara untuk mendekati masalah adalah mulai dengan fungsi bertahan hidup. Agar harus menunggu setidaknya menit, Anda harus menunggu setidaknya menit untuk kereta merah dan biru. Dengan demikian fungsi survival keseluruhan hanyalah produk dari fungsi survival individu: $t$ $t$

S (t) = (1 - \frac{t}{10}) (1 - \frac{t}{15})

$S(t) = \left( 1 - \frac{t}{10} \right) \left(1-\frac{t}{15} \right)$

yang, untuk , adalah probabilitas bahwa Anda harus menunggu setidaknya menit untuk kereta berikutnya. Ini memperhitungkan klarifikasi OP dalam komentar bahwa asumsi yang benar untuk diambil adalah bahwa masing-masing kereta berada pada jadwal tetap yang independen dari yang lain dan waktu kedatangan pelancong, dan bahwa fase dari dua kereta didistribusikan secara seragam. , $0 \le t \le 10$ $t$

Kemudian pdf diperoleh sebagai

p (t) = (1 - S (t))^{'} = \frac{1}{10} (1 - \frac{t}{15}) + \frac{1}{15} (1 - \frac{t}{10})

$p(t) = (1-S(t))' = \frac{1}{10} \left( 1- \frac{t}{15} \right) + \frac{1}{15} \left(1-\frac{t}{10} \right)$

Dan nilai yang diharapkan diperoleh dengan cara biasa:

, $E[t] = \int_0^{10} t p(t) dt = \int_0^{10} \frac{t}{10} \left( 1- \frac{t}{15} \right) + \frac{t}{15} \left(1-\frac{t}{10} \right) dt = \int_0^{10} \left( \frac{t}{6} - \frac{t^2}{75} \right) dt$

yang berhasil sampai menit. $\frac{35}{9}$

— Dave
sumber

Dave, dapatkah Anda menjelaskan bagaimana p (t) = (1- s (t)) '?

— Chef1075

Saya dapat menjelaskan bahwa untuk Anda S (t) = 1-F (t), p (t) hanyalah f (t) = F (t) '.

— Deep North

4

Gagasan fungsi bertahan hidup itu bagus. Tapi mengapa menurunkan PDF ketika Anda bisa langsung mengintegrasikan fungsi bertahan hidup untuk mendapatkan harapan? Akibatnya, dua pertiga dari jawaban ini hanya menunjukkan teorema dasar kalkulus dengan contoh tertentu. Dan apa yang membenarkan menggunakan produk untuk mendapatkan

? Ada asumsi tersembunyi di balik itu.

S

$S$

— Whuber

2

@whuber Saya lebih suka pendekatan ini, menurunkan PDF dari fungsi survival, karena ini menangani kasus-kasus di mana domain variabel acak tidak dimulai dari 0.

— Dave

2

(1) Domain Anda positif. (2) Formula ini siap digeneralisasi. .

— whuber

9

Jawabannya adalah Dapatkan bagian dalam parantheses: Jadi, bagiannya adalah:

E [t] = \int_{x} \int_{y} min (x, y) \frac{1}{10} \frac{1}{15} d x d y = \int_{x} (\int_{y < x} y d y + \int_{y > x} x d y) \frac{1}{10} \frac{1}{15} d x

$E[t]=\int_x\int_y \min(x,y)\frac 1 {10} \frac 1 {15}dx dy=\int_x\left(\int_{y<x}ydy+\int_{y>x}xdy\right)\frac 1 {10} \frac 1 {15}dx$

\int_{y < x} y d y = y^{2} / 2 |_{0}^{x} = x^{2} / 2

$\int_{y<x}ydy=y^2/2|_0^x=x^2/2$

\int_{y > x} x d y = x y |_{x}^{15} = 15 x - x^{2}

$\int_{y>x}xdy=xy|_x^{15}=15x-x^2$

Akhirnya,

(.) = (\int_{y < x} y d y + \int_{y > x} x d y) = 15 x - x^{2} / 2

$(.)=\left(\int_{y<x}ydy+\int_{y>x}xdy\right)=15x-x^2/2$

E [t] = \int_{x} (15 x - x^{2} / 2) \frac{1}{10} \frac{1}{15} d x = (15 x^{2} / 2 - x^{3} / 6) |_{0}^{10} \frac{1}{10} \frac{1}{15} = (1500 / 2 - 1000 / 6) \frac{1}{10} \frac{1}{15} = 5 - 10 / 9 \approx 3.89

$E[t]=\int_x (15x-x^2/2)\frac 1 {10} \frac 1 {15}dx= (15x^2/2-x^3/6)|_0^{10}\frac 1 {10} \frac 1 {15}\\= (1500/2-1000/6)\frac 1 {10} \frac 1 {15}=5-10/9\approx 3.89$

Berikut kode MATLAB untuk disimulasikan:

nsim = 10000000;
red= rand(nsim,1)*10;
blue= rand(nsim,1)*15;
nextbus = min([red,blue],[],2);
mean(nextbus)

— Aksakal
sumber

1

Anda membuat asumsi yang salah tentang titik awal kereta. yaitu menggunakan logika Anda, berapa banyak kereta merah dan biru datang setiap 2 jam? Berapa banyak kereta total selama 2 jam? dll

— Tilefish Poele

1

Bisakah kereta tidak tiba di menit 0 dan di menit 60?

— Tilefish Poele

1

bagaimana jika mereka mulai pada saat yang sama adalah apa yang saya coba katakan. Bagaimana jika keduanya dimulai pada menit 0. Berapa kali kereta tiba yang Anda miliki?

— Tilefish Poele

1

Simulasi tidak persis meniru pernyataan masalah. Secara khusus, ini tidak memodelkan "waktu acak" di mana Anda muncul di stasiun bus. Karena itu ia mewujudkan beberapa asumsi yang tidak disebutkan tentang masalah tersebut.

— whuber

2

@whuber mengemulasi fase bus relatif terhadap kedatangan saya di stasiun

— Aksakal

4

$x$ $\frac{10-x}{10} \times \frac{15-x}{15}$ $0 \le x \le 10$ $\frac{35}9\approx 3.889$

$\frac{1}{15}+\frac{1}{10}=\frac{1}{6}$ $6$

— Henry
sumber

3

@ Jangan apa-apa jika dukungannya adalah bilangan real non-negatif.

— Neil G

3

@dave Dia kehilangan beberapa pembenaran, tapi itu solusi yang tepat selama Anda berasumsi bahwa kereta tiba didistribusikan secara merata (yaitu, jadwal tetap dengan waktu antar-kereta konstan yang diketahui, tetapi offset yang tidak diketahui). Ini bekerja dengan sejumlah kereta. Ini karena nilai yang diharapkan dari variabel acak nonnegatif adalah bagian integral dari fungsi survivalnya.

— Neil G

1

10

$10$

\frac{10 - x}{10}

$\frac{10-x}{10}$

0 \leq x \leq 10

$0 \le x \le 10$

5

$5$

λ = \frac{1}{10}

$\lambda=\frac1{10}$

e^{- λ x}

$e^{-\lambda x}$

0 \leq x < \infty

$0 \le x \lt \infty$

\frac{1}{λ} = 10

$\frac1\lambda=10$

1

0

$0$

3

+1 Pada saat ini, ini adalah jawaban unik yang eksplisit tentang asumsinya. Semua yang lain membuat beberapa asumsi kritis tanpa mengakuinya.

— whuber

2

Saya mungkin salah tetapi dengan asumsi bahwa setiap waktu mulai kereta mengikuti distribusi seragam, saya akan mengatakan bahwa ketika tiba di stasiun secara acak waktu tunggu yang diharapkan untuk:

$R$ $\mathbb{E}[R] = 5$
$B$ $\mathbb{E}[B] = 7.5$
$\mathbb{E}[\min(R,B)] =\frac{15}{10}(\mathbb{E}[B]-\mathbb{E}[R]) = \frac{15}{4} = 3.75$

Seperti yang ditunjukkan dalam komentar, saya mengerti "Keduanya mulai dari waktu yang acak" sebagai "kedua kereta mulai pada waktu yang sama secara acak". Yang merupakan asumsi yang sangat terbatas.

— berusaha agar hidup
sumber

1

Terima kasih! Anda mendapat jawaban yang benar. Tapi 3. masih belum jelas bagi saya. Bisakah Anda jelaskan lebih banyak?

— Shengjie Zhang

1

Ini bukan jawaban yang tepat

— Aksakal

1

Saya pikir pendekatannya baik-baik saja, tetapi langkah ketiga Anda tidak masuk akal.

— Neil G

2

Jawaban ini mengasumsikan bahwa pada suatu saat, kereta merah dan biru tiba secara bersamaan: yaitu, mereka dalam fase. Jawaban lain membuat asumsi berbeda tentang fase.

— Whuber

2

$\Delta$ $0\le\Delta<10$ $t=0$

$\Delta$ $0$ $5$ $t=0$ $t=30$ $\Delta$ $10$ $5-\Delta$ $\Delta + 5$ $10-\Delta$

Jika $W_\Delta(t)$ $t$ $W_\Delta(t)$ $t$ $-1$ $0$ $30$ $30$

\begin{aligned} {\bar{W}}_{Δ} & : = \frac{1}{30} (\frac{1}{2} [Δ^{2} + 10^{2} + (5 - Δ)^{2} + (Δ + 5)^{2} + (10 - Δ)^{2}]) \\ = \frac{1}{30} (2 Δ^{2} - 10 Δ + 125) . \end{aligned}

$\begin{align}\bar W_\Delta &:= \frac1{30}\left(\frac12[\Delta^2+10^2+(5-\Delta)^2+(\Delta+5)^2+(10-\Delta)^2]\right)\\&=\frac1{30}(2\Delta^2-10\Delta+125). \end{align}$

Δ + 5

$\Delta+5$

{\bar{W}}_{Δ} = {\bar{W}}_{Δ + 5}

$\bar W_\Delta=\bar W_{\Delta+5}$

0 \leq Δ < 5

$0\le\Delta<5$

$\Delta$

\frac{1}{5} \int_{Δ = 0}^{5} \frac{1}{30} (2 Δ^{2} - 10 Δ + 125) d Δ = \frac{35}{9} .

$\frac15\int_{\Delta=0}^5\frac1{30}(2\Delta^2-10\Delta+125)\,d\Delta=\frac{35}9.$

— grand_chat
sumber

2

Ini adalah proses Poisson. Kereta merah tiba sesuai dengan distribusi Poisson dengan parameter laju 6 / jam.
Kereta biru juga tiba sesuai dengan distribusi Poisson dengan tarif 4 / jam. Kedatangan kereta merah dan kedatangan kereta biru adalah independen. Total jumlah kedatangan kereta api juga Poisson dengan tarif 10 / jam. Karena jumlah Waktu antara kedatangan kereta adalah eksponensial dengan rata-rata 6 menit. Karena mean eksponensial adalah kebalikan dari parameter laju Poisson. Karena distribusi eksponensial tidak memiliki memori, waktu tunggu Anda yang diharapkan adalah 6 menit.

— Alison
sumber

Poisson adalah asumsi yang tidak ditentukan oleh OP. Tetapi beberapa asumsi seperti ini diperlukan. Logikanya sempurna. +1 Saya menyukai solusi ini.

— Michael R. Chernick

1

OP mengatakan secara khusus dalam komentar bahwa prosesnya bukan Poisson

— Aksakal