Harapan "tak terduga"

Bisakah para ahli Monte Carlo kami menjelaskan ekspektasi "tak terduga" di akhir jawaban ini ?

Ringkasan ex post facto dari pertanyaan / jawaban lain: jika adalah variabel acak IID dan harapan ada, maka argumen simetri sederhana menunjukkan bahwa , tetapi percobaan Monte Carlo dengan tampaknya bertentangan dengan proposisi ini.$X_1,\dots,X_n$$\mathrm{E}[X_i/\bar{X}]$$\mathrm{E}[X_i/\bar{X}]=1$$X_i\sim\mathrm{N}(0,1)$

x <- matrix(rnorm(10^6), nrow = 10^5)
mean(x[,2]/rowMeans(x))

[1] 5.506203

Penjelasan untuk evaluasi Monte Carlo tentang rasio mengambil nilai aneh adalah bahwa harapan itu tidak ada. Sebagai transformasi Cauchy dalam contoh Normal Anda . Memang, yang tidak terintegrasi pada karena setara dengan .$\mathbb{E}[X_1/(X_1+X_2)]$$X_1/X_2$

$$\begin{align*} \mathbb{E}[X_1/(X_1+X_2)] &=\mathbb{E}[1/(1+X_2/X_1)]\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{1+y}\,\frac{1}{\pi(1+y^2)}\text{d}y \end{align*}$$ $y=-1$$(y+1)^{-1}$

Perhatikan bahwa bukan merupakan varian Cauchy tetapi transformasi dari varian Cauchy oleh fungsi Alasannya adalah itu dan itu mana .$X_1/\bar{X}$

$$f:\ y \to \dfrac{n}{1+\sqrt{n-1}y}$$ $$(X_2+\ldots+X_n)\sim\text{N}(0,n-1)$$ $$\frac{X_1}{\bar{X}}=\dfrac{n}{1+(X_2+\ldots+X_n)/X_1}=\dfrac{n}{1+\sqrt{n-1}Z/X_1}$$ $Z\sim\text{N}(0,1)$

Perhatikan bahwa, ketika bertumbuh hingga tak terbatas, menyatu dalam distribusi ke variabel acak yang sama dengan dengan probabilitas .$n$$X_1/\bar{X}$$\pm \infty$$1/2$