Apakah CoStandard Deviasi adalah suatu hal?

8

Jadi ada Standar Deviasi, Varian, dan Kovarian, tetapi apakah ada standar deviasi?

Jika tidak, mengapa tidak? Apakah ada alasan matematika yang mendasar atau itu hanya konvensi?

Jika demikian mengapa tidak digunakan lebih banyak, atau setidaknya sangat sulit ditemukan menggunakan pencarian Google?

Saya tidak bermaksud ini menjadi pertanyaan sembrono, saya mencoba untuk benar-benar mempertanyakan statistik daripada hanya menghafal banyak rumus.

variance standard-deviation covariance-matrix

— jurang289
sumber

1

Bisakah Anda menjelaskan apa yang menurut Anda mewakili "deviasi standar co"? Apakah ada motivasi yang mendasarinya, atau Anda hanya bertanya (dalam arti meta) apakah mungkin ada makna universal untuk mengawali "co" dengan nama statistik apa pun?

— whuber

1

Saya berasumsi OP adalah generalisasi dari varians: covariance :: standar deviasi: "deviasi costandard", tetapi tidak ada salahnya untuk pertanyaan menjadi lebih eksplisit (dengan asumsi mereka benar-benar berarti

\sqrt{σ_{X Y}}

$\sqrt{\sigma_{XY}}$ ).

— Ben Bolker

12

Satu sifat yang berguna dari standar deviasi adalah bahwa ia memiliki satuan yang sama dengan rata-rata, demikian besarnya $\sigma_X$ dan $\bar X$ secara langsung sebanding. Saya belum pernah melihat seseorang menghitung deviasi standar co-(dengan mana saya menganggap maksud Anda akar kuadrat dari kovarians); jika satuan $X$ dan $Y$ dilambangkan sebagai $[X]$ dan $[Y]$ , maka satuan kovarians adalah $[X][Y]$ dan satuan deviasi standar akan menjadi $\sqrt{[X][Y]}$ , yang tidak terlalu berguna. Di sisi lain, korelasinya $\sigma_{XY}/(\sigma_X \sigma_Y)$ adalah unitless, dan merupakan skala yang sangat umum untuk melaporkan asosiasi.

Varians (berbeda dengan deviasi standar) berguna karena umumnya memiliki sifat matematika yang lebih bagus; khususnya

σ_{X + Y}^{2} = σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2} + 2 σ_{X Y},

$\sigma^2_{X+Y} = \sigma^2_X + \sigma^2_Y + 2 \sigma_{XY},$ yang disederhanakan dengan baik saat

X

$X$ dan

Y

$Y$ independen (karenanya

σ_{X Y} = 0

$\sigma_{XY}=0$ ).

Saat Anda memikirkan cara untuk menskalakan varian, Anda juga dapat mempertimbangkan koefisien variasi $\sigma_X/\bar X$ (yang tanpa unit), atau rasio varians terhadap rata-rata $\sigma^2_X/\bar X$ (yang memiliki unit aneh tetapi bermakna dalam konteks distribusi jumlah seperti Poisson, yang juga tanpa unit).

— Ben Bolker
sumber

3

Poin yang bagus, tetapi sepertinya tidak menjawab mengapa mengambil akar kuadrat dari kovarians tidak masuk akal.

— Tim

3

Inilah salah satu cara untuk mengeksploitasi formula Anda: gunakan untuk mengamati bahwa kovarians dapat didefinisikan sebagai

σ_{X Y} = (σ_{X + Y}^{2} - σ_{X}^{2} - σ_{Y}^{2}) / 2.

$\sigma_{XY} = (\sigma^2_{X+Y}-\sigma_X^2-\sigma_Y^2)/2.$ Jadi mengapa tidak maka cukup mendefinisikan "co-SD" - sebut saja

τ

$\tau$ , katakan - sebagai

τ_{X Y} = (σ_{X + Y} - σ_{X} - σ_{Y}) / 2 ?

$\tau_{XY}=(\sigma_{X+Y}-\sigma_X-\sigma_Y)/2?$ Ini mengisyaratkan sulitnya menjawab pertanyaan asli tanpa mengetahui apa arti "co" dari segala sesuatu yang mungkin terjadi: Anda tidak dapat menunjukkan banyak hal hanya dengan menunjukkan bahwa satu generalisasi tertentu tidak masuk akal atau tidak berguna; Anda harus mempertimbangkan semua cara yang mungkin untuk menggeneralisasi sebuah konsep!

— whuber

5

Pertanyaannya sepertinya back-to-front. Dalam matematika kita tidak menemukan nama untuk kuantitas "hanya karena kita bisa", tetapi karena kuantitas yang disebutkan berguna untuk sesuatu.

Pertanyaan OP tidak memberi dan alasan mengapa menurutnya ada kuantitas yang berguna yang bisa dinamai "Deviasi standar" dan jawabannya menebak hal-hal yang mungkin berguna.

Untuk menggeneralisasi konsep dengan regresi linear multi-variabel dengan $n$ variabel, "kovarians" menjadi $n \times n$ matriks simetris . Anda tentu dapat membuat definisi yang masuk akal dari "akar kuadrat dari matriks simetris" selama itu pasti positif atau semi-pasti, tetapi sulit untuk memikirkan penggunaannya dalam konteks ini - dan itu tidak sama sebagai mengambil akar kuadrat dari setiap istilah dari matriks secara terpisah!

Tentu saja akar kuadrat dari matriks diagonal (misalnya matriks varians) hanyalah akar kuadrat dari masing-masing istilah, sehingga konsep "standar deviasi" memang menggeneralisasi dengan cara yang jelas dan bermanfaat - tetapi "deviasi standar" tidak , IMO. Dan secara umum, "akar kuadrat dari sebuah matriks" bahkan tidak didefinisikan secara unik, jadi akar kuadrat mana yang ingin Anda pilih sebagai standar deviasi?

— alephzero
sumber

4

Kovarian bisa positif dan negatif.

Jadi akar kuadrat dari kovarians bisa nyata atau imajiner.

Anda dapat membandingkan angka nyata dengan angka imajiner untuk ukuran. Unit untuk "standar co-deviasi" tidak nyaman. Tidak ada untungnya mengambil akar kuadrat.

— James K
sumber

Silakan lihat komentar saya untuk jawaban Ben Bolker.

— whuber

dan lihat tanggapan Ben.

— James K