Bukti tingkat sarjana dari teorema Pitman – Koopman

Teorema Pitman-Koopman-Darmois mengatakan bahwa jika sampel awal dari keluarga parametrized distribusi probabilitas menerima statistik yang cukup yang jumlah komponen skalar tidak tumbuh dengan ukuran sampel, maka itu adalah keluarga eksponensial.

Apakah ada buku teks atau makalah ekspositori dasar yang memberikan bukti?
Mengapa dinamai setelah tiga orang itu?

mathematical-statistics references

— Michael Hardy
sumber

Alasan mengapa Lemma disebut Pitman-Koopman-Darmois adalah, tidak mengejutkan, bahwa ketiga penulis membuat versi yang sama dari lemma, secara independen pada waktu yang hampir bersamaan:

Darmois, G. (1935) Sur les lois de probabilité à estimasi lengkap, Comptes Rendus de l'Académie des Ilmu , 200, 1265-1266.
Koopman, BO (1936) Tentang Distribusi Mengakui Statistik yang Cukup, Transaksi Masyarakat Matematika Amerika , Vol. 39, No. 3. [tautan]
Pitman, EJG (1936) Statistik yang cukup dan akurasi intrinsik, Prosiding Cambridge Philosophical Society , 32, 567-579.

mengikuti hasil satu dimensi dalam

Fisher, RA (1934) Dua sifat baru kemungkinan matematika, Prosiding Royal Society , Seri A, 144, 285-307.

Saya tidak tahu bukti non-teknis dari hasil ini. Salah satu bukti yang tidak melibatkan argumen kompleks adalah Don Fraser (p.13-16), berdasarkan argumen bahwa fungsi kemungkinan adalah statistik yang cukup, dengan nilai fungsional. Tapi saya menemukan argumen yang dapat disangkal karena statistik adalah vektor nyata yang merupakan fungsi dari sampel , bukan fungsional (fungsi bernilai transformasi). Dengan mengubah sifat statistik, Don Fraser mengubah definisi kecukupan dan karenanya arti dari lemma Darmois-Koopman-Pitman. $x$

— Xi'an
sumber

+1. Nitpick pada kertas Koopman yang ditautkan dalam paragraf berikut Persamaan. (6) membuktikan bahwa Jacobian di mana-mana menghilang: lingkungan tidak boleh dipilih hanya secara sewenang-wenang sehingga Jacobian tidak nol. Itu harus diperdebatkan secara lokal untuk setiap titik daripada secara lokal. Keberadaan (bukan) diferensial diferensial pada titik itu menjamin bahwa ada lingkungan yang cukup kecil pada titik itu sehingga sisi kiri Persamaan. (5) di lingkungan itu selain dari titik itu selalu berbeda dari yang di titik itu.

(x_{1}^{0}, x_{2}^{0}, x_{3}^{0})

$(x_1^0,x_2^0,x_3^0)$

— Hans

Tidak benar bahwa bukan nol Jacobian mengarah ke nilai-nilai unik global dalam suatu domain (bermacam-macam) seperti yang tersirat dalam makalah ini. Itu hanya berlaku secara lokal. Dimensi juga dipertahankan bukan oleh homeomorfisme seperti yang diklaim dalam kalimat terakhir paragraf itu, melainkan oleh difeomorfisme lokal, yang merupakan kasus di sini.

— Hans

Bukti tingkat sarjana dari teorema Pitman – Koopman – Darmois