Apakah

Apakah menyiratkan independensi dan ? $\mathbb{Cov} \left(f(X),Y\right) = 0 \; \forall \; f(.)$ $X$ $Y$

Saya hanya akrab dengan definisi independensi antara dan . $X$ $Y$

f_{x, y} (x, y) = f_{x} (x) f_{y} (y)

$f_{x,y}(x,y) = f_x(x)f_y(y)$

random-variable independence

— stollenm
sumber

Anda perlu

, bukan hanya

C o v (f (X), g (Y)) = 0 for all (measurable) f (\cdot), g (\cdot)

$\mathbb{Cov} \left(f(X),g(Y)\right) = 0 ~\text{for all (measurable)} ~f(\cdot), g(\cdot)$

C o v (f (X), Y) = 0 \forall f (\cdot)

$\mathbb{Cov} \left(f(X),Y\right) = 0 \; \forall \; f(\cdot)$

— Dilip Sarwate

Mari kita mulai dengan intuisi. Kemiringan biasa kuadrat regresi setidaknya dari terhadap , untuk setiap fungsi , sebanding dengan kovarians dari dan . Asumsinya adalah bahwa semua regresi semuanya nol (bukan hanya yang linier). Jika Anda membayangkan diwakili oleh awan titik (benar-benar, awan probabilitas kerapatan), maka tidak masalah bagaimana Anda mengirisnya secara vertikal dan menyusun ulang irisan (yang melakukan pemetaan, $Y$ $h(X)$ $h$ $h(X)$ $Y$ $(X,Y)$ $h$ $Y$

Ω = {ω_{i, j} ∣ - 1 \leq i, j, \leq 1}

$\Omega = \{\omega_{i,j}\mid -1 \le i,j,\le 1\}$

P (ω_{0, 0}) = 0; P (ω_{0, j}) = 1 / 5 (j = \pm 1); P (ω_{i, j} = 1 / 10) otherwise.

$\mathbb{P}(\omega_{0,0})=0;\ \mathbb{P}(\omega_{0,j})=1/5\,(j=\pm 1);\ \mathbb{P}(\omega_{i,j}=1/10)\text{ otherwise.}$

X (ω_{i, j}) = j, Y (ω_{i, j}) = i .

$X(\omega_{i,j})=j,\ Y(\omega_{i,j})=i.$

Kami dapat menampilkan probabilitas ini sebagai sebuah array

(\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{matrix})

$\pmatrix{1&2&1\\1&0&1\\1&2&1}$

$1/10$ $-1,0,1$

f_{X} (- 1) = f_{X} (1) = 3 / 10; f_{X} (0) = 4 / 10

$f_X(-1)=f_X(1)=3/10;\, f_X(0)=4/10$

f_{Y} (- 1) = f_{Y} (1) = 4 / 10; f_{Y} (0) = 2 / 10,

$f_Y(-1)=f_Y(1)=4/10;\, f_Y(0)=2/10,$

f_{X} (0) f_{Y} (0) = (4 / 10) (2 / 10) \neq 0 = P (ω_{0, 0}) = f_{X Y} (0, 0),

$f_X(0)f_Y(0)=(4/10)(2/10)\ne 0=\mathbb{P}(\omega_{0,0})=f_{XY}(0,0),$

$Y$ $X=0$ $X=\pm 1$ $Y$ $X$

$27$

— whuber
sumber