Apa yang lebih tinggi, atau

9

Jadi saya memiliki tes probabilitas dan saya tidak bisa menjawab pertanyaan ini. Itu hanya bertanya seperti ini:

"Menimbang bahwa adalah variabel acak, , gunakan ketidaksetaraan yang benar untuk membuktikan apa yang lebih tinggi atau sama, atau . $X$ $X$ $\geqslant$ $0$ $E(X^2)^3$ $E(X^3)^2$

Satu-satunya hal yang bisa saya pikirkan adalah Ketimpangan Jensen, tetapi saya tidak benar-benar tahu bagaimana menerapkannya di sini.

probability self-study probability-inequalities

— Triwarna
sumber

1

Coba ketidaksamaan Holder sebagai gantinya.

— jbowman

1

Silakan tambahkan tag belajar mandiri.

— Michael R. Chernick

2

Utas di stats.stackexchange.com/questions/244202/… menggeneralisasi pertanyaan ini: ambil saja akar keenam dari kedua belah pihak untuk menerapkannya.

— Whuber

2

Silakan lihat pembahasan pertanyaan gaya pekerjaan rumah di pusat bantuan

— Glen_b -Reinstate Monica

15

Ini memang bisa dibuktikan dengan ketidaksetaraan Jensen.

Petunjuk : Perhatikan bahwa untuk fungsi adalah cembung di (Di situlah Anda menggunakan asumsi ). Kemudian ketidaksamaan Jensen memberikan dan untuk , itu adalah sebaliknya. $\alpha > 1$ $x^{\alpha}$ $\left[0, -\infty\right)$ $X \ge 0$

E {[Y]}^{α} \leq E [Y^{α}]

$\mathbb{E}\left[Y\right]^{\alpha} \le \mathbb{E}\left[Y^{\alpha}\right]$

α < 1

$\alpha < 1$

Sekarang, ubah variabel menjadi sesuatu yang sebanding, dan temukan relevan . $\alpha$

— tmrlvi
sumber

5

Ketidaksetaraan Lyapunov (Lihat: Casella dan Berger, Inferensi Statistik 4.7.6):

Untuk : $1 < r < s < \infty$

E [| X |^{r}]^{\frac{1}{r}} \leq E [| X |^{s}]^{\frac{1}{s}}

$\mathbb{E}[|X|^r]^\frac{1}{r} \leq \mathbb{E}[|X|^s]^\frac{1}{s}$

Bukti :

Oleh ketidaksamaan Jensens untuk cembung : $\phi(x)$ $\phi(\mathbb{E}X) \leq \mathbb{E}[\phi(x)]$

Pertimbangkan , lalu mana $\phi(Y) = Y^t$ $(\mathbb{E}[Y])^t \leq \mathbb{E}[Y^t]$ $Y = |X|^r$

Pengganti : $t = \frac{s}{r}$ $(\mathbb{E}[|X|^r])^{\frac{s}{r}} \leq \mathbb{E}[|X|^{r\frac{s}{r}}]$ $\implies \mathbb{E}[|X|^r]^\frac{1}{r} \leq \mathbb{E}[|X|^s]^\frac{1}{s}$

Secara umum untuk ini berarti: $X >0$

$\mathbb{E}[X] \leq (\mathbb{E}[X^2])^\frac{1}{2} \leq (\mathbb{E}[X^3])^\frac{1}{3} \leq (\mathbb{E}[X^4])^\frac{1}{4} \leq \dots$

— hak cipta
sumber

2

Misalkan X memiliki distribusi seragam pada [0,1] maka E (X ) = dan begitu E (X ) = dan E ( X ) = jadi E (X ) = . Jadi dalam hal ini E (X ) > E (X ) . Bisakah Anda menggeneralisasi ini atau menemukan contoh tandingan? $^2$ $\frac{1}{3}$ $^2$ $^3$ $\frac{1}{27}$ $^3$ $\frac{1}{4}$ $^3$ $^2$ $\frac{1}{16}$ $^3$ $^2$ $^2$ $^3$

— Michael R. Chernick
sumber

Jawaban yang sangat samar. OP diminta untuk membuktikan pernyataan yang benar. Tidak ada contoh balik sama sekali.

— Zhanxiong