Apakah perbedaan antara dua simetris rv juga memiliki distribusi simetris?

9

Jika saya memiliki dua distribusi simetris (sehubungan dengan median) dan , apakah perbedaan juga distribusi simetris (sehubungan dengan median)? $X$ $Y$ $X-Y$

distributions median

— Alessio93
sumber

5

Distribusi

bukanlah "perbedaan antara dua distribusi", ini distribusi perbedaan antara variabel acak yang didistribusikan secara simetris; Perbedaan dalam distribusi adalah

; yang bukan distribusi; sama halnya perbedaan pdf tidak akan menjadi pdf ... harap ubah deskripsi judul Anda

X - Y

$X-Y$

F_{X} (t) - F_{Y} (t)

$F_X(t)-F_Y(t)$

— Glen_b -Reinstate Monica

2

@Glen_b: Saya mengedit judul OP untuk mengatakannya, tetapi di masa depan silakan lanjutkan dan edit sendiri. Bahasa sehari-hari saya pikir semua orang mengerti apa arti OP.

— smci

@smci Sebenarnya, saya memilih untuk meminta OP untuk melakukannya daripada melakukannya sendiri karena suatu alasan (jika Anda memeriksa profil saya, Anda akan melihat saya memiliki lebih dari 3100 posting yang diedit - Saya mengerti aturan umum tentang pengeditan). Terima kasih telah membantu. Saya juga berpikir sedikit lebih peduli dengan mengungkapkan apa yang dimaksudkan akan menyelesaikan sebagian besar pertanyaan pemula di situs; dan saya pikir kejelasan sangat penting dalam sebuah judul.

— Glen_b -Reinstate Monica

13

Misalkan dan menjadi PDF simetris tentang median dan masing-masing. Selama dan adalah independen, distribusi probabilitas perbedaan adalah konvolusi dan , yaitu $X \sim f(x)$ $Y \sim g(y)$ $a$ $b$ $X$ $Y$ $Z = X - Y$ $X$ $-Y$

p (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f (z + y) g (- y) d y,

$p(z) = \int_{-\infty}^\infty f(z + y) g(-y) dy,$

di mana hanyalah PDF lebih dari dengan median $h(y) = g(-y)$ $-Y$ $-b.$

Secara intuitif, kita berharap hasilnya simetris tentang jadi mari kita coba itu. $a - b$

\begin{aligned} p (a - b - z) & = \int_{- \infty}^{\infty} f (a - b - z + y) g (- y) d y \\ = \int_{- \infty}^{\infty} f (a - (z + v)) g (v - b) d v \\ = \int_{- \infty}^{\infty} f (z + v) g (- v) d v \\ = p (z) . \end{aligned}

$\begin{split} p(a - b - z) &= \int_{-\infty}^\infty f(a - b - z + y) g(-y) dy \\ &= \int_{-\infty}^\infty f(a - (z + v)) g(v-b) dv \\ &= \int_{-\infty}^\infty f(z + v) g(-v) dv \\ &= p(z). \end{split}$

Pada baris kedua saya menggunakan substitusi dalam integral. Pada baris ketiga, saya menggunakan kedua simetri tentang dan tentang Ini membuktikan bahwa simetris tentang jika simetris tentang dan simetris tentang $v = b - y$ $f(x)$ $a$ $g(-y)$ $-b.$ $p(z)$ $a - b$ $f(x)$ $a$ $g(y)$ $b.$

Jika dan tidak independen, dan dan hanyalah distribusi marginal, maka kita perlu mengetahui distribusi bersama, Kemudian, secara integral, kita harus mengganti dengan $X$ $Y$ $f$ $g$ $X,Y \sim h(x,y).$ $f(z + y) g(-y)$ $h(z + y, -y).$ Namun, hanya karena distribusi marjinal simetris, itu tidak berarti bahwa distribusi bersama simetris tentang masing-masing argumennya. Jadi Anda tidak bisa menerapkan alasan serupa.

— Bridgeburners
sumber

8

Ini akan tergantung pada hubungan antara dan , berikut adalah contoh counter di mana dan simetris, tetapi tidak: $x$ $y$ $x$ $y$ $x-y$

x = [- 4, - 2, 0, 2, 4]

$x=[-4, -2, 0, 2, 4]$

y = [- 1, - 3, 0, 1, 3]

$y=[-1, -3, 0, 1, 3]$

x - y = [- 3, 1, 0, 1, 1]

$x-y = [-3, 1, 0, 1, 1]$

Jadi di sini median tidak sama dengan perbedaan median dan tidak simetris. $x-y$ $x-y$

Edit

Ini mungkin lebih jelas dalam notasi @ whuber:

$x$ $y$

(x, y) = (- 4, - 1); (- 2, - 3); (0, 0); (2, 1); (4, 3)

$(x,y)=(-4,-1); (-2,-3); (0,0); (2,1); (4,3)$

$x$ $(-4, -2, 0, 2, 4)$ $y$ $(-3, -1, 0, 1, 3)$ $x$ $y$ $x$ $y$ $x-y$

— Greg Snow
sumber

4

X

$X$

Y

$Y$

X - Y

$X-Y$

x

$x$

y

$y$

x

$x$

y

$y$

x - y

$x-y$

i

$i$

i = 0

$i=0$

x = - 4

$x=-4$

y = - 1

$y=-1$

x - y = - 3

$x-y=-3$

5

x

$x$

y

$y$

(x, y)

$(x,y)$

(x, y) = (- 4, - 1), (- 2, - 3), (0, 0), (2, 1), (4, 3)

$(x,y)=(-4,-1),(-2,-3),(0,0),(2,1),(4,3)$

1

X

$X$

Y

$Y$

X = 10

$X=10$

Y = 1

$Y=1$

1

Komentar dan hasil edit telah menjelaskan apa yang Anda maksud. Terima kasih.

— amoeba

6

$X-Y$

— Moormanly
sumber