Untuk contoh spesifik Anda, orde pertama Taylor perkiraan sekitar , jadix0= 0 ,ex=e0+e0x +R1= 1 + x +R1
E(ex) = E( 1 + x ) + E(R1)
Jadi pertanyaannya adalah "apa yang bisa kita katakan tentang ?
Yah, kita tidak tahu sebanyak yang kita inginkan tentang perkiraan Taylor - artinya, tentang perilaku sisanya. E(R1)
Lihat contoh ini mengapa sisanya adalah hal yang berbahaya, tetapi juga, saya sarankan untuk membaca utas yang sangat membangkitkan semangat, Mengambil harapan dari seri Taylor (terutama sisanya) tentang masalah ini.
Hasil yang menarik dalam regresi linier adalah sebagai berikut: anggap kita memiliki model non-linear yang sebenarnya
ysaya= m (xsaya) +esaya
di mana adalah fungsi ekspektasi bersyarat, , dan dengan konstruksi .m (xsaya)E(ysaya∣xsaya) = m (xsaya)E(esaya∣xsaya) = 0
Pertimbangkan pendekatan Taylor orde pertama khusus di sekitarE(xsaya)
ysaya=β0+x′sayaβ+kamusaya,kamusaya=R1 i+esaya
di mana adalah sisa dari perkiraan Taylor, beta adalah turunan parsial dari fungsi non-linear sehubungan dengan dievaluasi pada , sedangkan istilah konstan mengumpulkan semua lainnya memperbaiki hal-hal dari perkiraan (omong-omong, ini adalah alasan mengapa a) kita diberitahu "selalu menyertakan konstanta dalam spesifikasi" tetapi bahwa b) konstanta berada di luar interpretasi yang berarti dalam kebanyakan kasus).R1 ixsayaE(xsaya)
Kemudian, jika kita menerapkan estimasi Ordinary Least-Squares, kita mendapatkan bahwa Taylor Remainder tidak akan direalisasikan kepada para regressor, , dan juga . Hasil pertama menyiratkan bahwa properti estimator OLS untuk beta tidak dipengaruhi oleh fakta bahwa kami telah memperkirakan fungsi non-linear dengan pendekatan Taylor orde pertama. Hasil kedua menyiratkan bahwa aproksimasi optimal di bawah kriteria yang sama di mana harapan bersyarat adalah prediktor optimal (rata-rata kesalahan kuadrat, di sini berarti sisa kuadrat). E(R1 ixsaya) = E(R1 i) E(xsaya)E(R21 i) = mnt
Kedua premis diperlukan untuk hasil ini, yaitu, bahwa kita mengambil ekspansi Taylor di sekitar nilai yang diharapkan dari para regressor, dan bahwa kita menggunakan OLS.