Varians resistor secara paralel

10

Misalkan Anda memiliki satu set resistor R, yang semuanya didistribusikan dengan mean μ dan varians σ.

Pertimbangkan bagian sirkuit dengan tata letak berikut: (r) || (r + r) || (r + r + r). Resistansi yang setara dari setiap bagian adalah r, 2r, dan 3r. Varians setiap bagian akan menjadi $σ^2$ , $2σ^2$ , $3σ^2$ .

Apa perbedaan dalam resistansi seluruh rangkaian?

Setelah mengambil sampel beberapa juta poin, kami menemukan bahwa sekitar $.10286\sigma^2$ .

Bagaimana kita sampai pada kesimpulan ini secara analitis?

Sunting: Nilai resistensi diasumsikan terdistribusi normal dengan beberapa r resistensi rata-rata dan varians $σ^2$ .

probability sampling variance

— lndroid
sumber

1

Saya tidak yakin ini model yang tepat untuk memulai. Apakah Anda akrab dengan teori kebisingan sirkuit termal Nyquist-Johnson ? Jika Anda sengaja melakukan sesuatu yang berbeda, itu akan menarik untuk melihat motivasi. Kalau tidak, mungkin layak untuk mempertimbangkan model yang lebih standar. :)

— kardinal

Ya, ketika saya sedang menulis upaya saya untuk menjawab, saya juga menyadari bahwa model itu tampaknya tidak dapat ditelusuri sebagaimana diajukan. Namun, saya pikir ini lebih seperti masalah akademis daripada yang praktis (mereka melakukan simulasi, setelah semua).

— Néstor

Saya minta maaf karena memiliki sigma sebagai varian, saya awalnya menggunakan VAR dan seseorang mengeditnya untuk sigma.

— lndroid

Terima kasih atas pembaruannya. Saya masih tertarik pada motivasi di balik pertanyaan ini, jika Anda bersedia menambahkan sedikit pada pertanyaan Anda. :)

— kardinal

9

Resistansi ekivalen dari seluruh rangkaian memecahkan Kita mengasumsikan bahwa , untuk beberapa variabel acak independen , terpusat dan dengan varian . $R$

\frac{1}{R} = \sum_{i = 1}^{3} \frac{1}{R_{i}} .

$\frac1R=\sum_{i=1}^{3}\frac{1}{R_i}.$

R_{i} = i μ + σ \sqrt{i} Z_{i}

$R_i=i\mu+\sigma\sqrt{i}Z_i$

Z_{i}

$Z_i$

1

$1$

Tanpa indikasi lebih lanjut, seseorang tidak dapat menghitung varian , oleh karena itu, untuk melangkah lebih jauh, kami mempertimbangkan rezim di mana Kemudian, karenanya mana Orang melihat bahwa Lebih jauh, Dengan demikian, dalam batas $R$

σ ≪ μ .

$\color{red}{\sigma\ll\mu}.$

\frac{1}{R_{i}} = \frac{1}{i μ} - \frac{σ}{μ^{2}} \frac{Z_{i}}{i \sqrt{i}} + higher order terms,

$\frac{1}{R_i}=\frac1{i\mu}-\frac{\sigma}{\mu^2}\frac{Z_i}{i\sqrt{i}}+\text{higher order terms},$

\frac{1}{R} = \frac{a}{μ} - \frac{σ}{μ^{2}} Z + higher order terms,

$\frac{1}{R}=\frac{a}{\mu}-\frac{\sigma}{\mu^2}Z+\text{higher order terms},$

a = \sum_{i = 1}^{3} \frac{1}{i} = \frac{11}{6}, Z = \sum_{i = 1}^{3} \frac{Z_{i}}{i \sqrt{i}} .

$a=\sum_{i=1}^{3}\frac1{i}=\frac{11}6,\qquad Z=\sum_{i=1}^{3}\frac{Z_i}{i\sqrt{i}}.$

E (Z) = 0, E (Z^{2}) = b, b = \sum_{i = 1}^{3} \frac{1}{i^{3}} = \frac{251}{216} .

$\mathrm E(Z)=0,\qquad\mathrm E(Z^2)=b,\qquad b=\sum\limits_{i=1}^{3}\frac1{i^3}=\frac{251}{216}.$

R = \frac{μ}{a} - \frac{σ}{a^{2}} Z + higher order terms,

$R=\frac{\mu}a-\frac{\sigma}{a^2}Z+\text{higher order terms},$

σ \to 0

$\sigma\to0$ , dan Asimtotik ini dari dan dapat digeneralisasi ke sejumlah resistansi secara paralel, masing-masing merupakan hasil dari resistansi elementer secara seri, resistansi elementer menjadi independen dan masing-masing dengan mean dan varians . Kemudian, ketika , mana

E (R) \approx \frac{μ}{a} = \frac{6}{11} μ,

$\mathrm E(R)\approx\frac{\mu}a=\frac6{11}\mu,$

Var (R) \approx σ^{2} \cdot \frac{b}{a^{4}} = σ^{2} \cdot {(\frac{6}{11})}^{4} \cdot \frac{251}{216} = σ^{2} \cdot 0.10286 \dots

$\text{Var}(R)\approx\sigma^2\cdot\frac{b}{a^4}=\sigma^2\cdot\left(\frac{6}{11}\right)^4\cdot\frac{251}{216}=\sigma^2\cdot0.10286\ldots$

E (R)

$\mathrm E(R)$

Var (R)

$\text{Var}(R)$

n_{i}

$n_i$

μ

$\mu$

σ^{2}

$\sigma^2$

σ \to 0

$\sigma\to0$

E (R) \to \frac{μ}{a}, σ^{- 2} Var (R) \to \frac{b}{a^{4}},

$\mathrm E(R)\to\frac{\mu}a,\quad \sigma^{-2}\text{Var}(R)\to\frac{b}{a^4},$

a = \sum_{i} \frac{1}{n_{i}}, b = \sum_{i} \frac{1}{n_{i}^{3}} .

$a=\sum_i\frac1{n_i},\quad b=\sum_i\frac1{n_i^3}.$

— Melakukan
sumber

8

Saya tidak berpikir jawaban yang tepat hanya bergantung pada dan . Ketika Anda mencicipi, saya kira Anda harus menggunakan beberapa distribusi beton - mungkin distribusi normal? Dalam kasus apa pun, kita dapat menghitung rata-rata dan varians dari resistansi rangkaian dalam pendekatan linier, dan kemudian bentuk pasti dari distribusi tidak relevan. $\mu$ $\sigma^2$

Resistansi sirkuit adalah . Dalam pendekatan linier, rata-rata dan varians dari kebalikan dari variabel acak dengan mean dan varians adalah dan . Jadi kita memiliki sejumlah istilah dengan berarti , dan dan varian , dan , masing-masing, yang menambahkan hingga rata-rata dan varian dari $\left(R_1^{-1}+R_2^{-1}+R_3^{-1}\right)^{-1}$ $\mu$ $\sigma^2$ $1/\mu$ $\sigma^2/\mu^4$ $1/\mu$ $1/(2\mu)$ $1/(3\mu)$ $\sigma^2/\mu^4$ $\sigma^2/(8\mu^4)$ $\sigma^2/(27\mu^4)$ $\frac{11}6/\mu$ $\frac{251}{216}\sigma^2/\mu^4$ . Kemudian mengambil kebalikan dari yang menghasilkan rata-rata dan varian , sesuai dengan hasil Anda. $\frac6{11}\mu$ $\left(\frac{251}{216}\sigma^2/\mu^4\right)/\left(\frac{11}6/\mu\right)^4=\frac{1506}{14641}\sigma^2\approx0.10286\sigma^2$

— joriki
sumber

Ini, tentu saja, dengan asumsi bahwa resistor adalah variabel acak independen.

@ Robert: Ya (resistensi, lebih tepatnya). Itu sudah diasumsikan dalam perhitungan varians , dan dalam pertanyaan, dan itu masuk akal secara fisik (walaupun jika kita mengambil semua resistor dari batch produksi yang sama, hambatannya akan agak berkorelasi ).

σ

$\sigma$

2 σ

$2\sigma$

3 σ

$3\sigma$

— joriki

Dalam desain nyata, tentu saja, resistensi jauh dari rv independen. Bahkan, banyak pekerjaan masuk ke tata letak untuk membuat beberapa kelompok elemen saling melacak (disebut '' cocok ', tidak mengejutkan).

1

Apakah Anda menggunakan ? Saya lebih terbiasa melihat ini ditulis sebagai .

σ = E (X - E X)^{2}

$\sigma = E (X-EX)^2$

σ^{2}

$\sigma^2$

@ copper.hat: Anda benar tentang , tentu saja - Saya mengadopsi notasi yang digunakan dalam pertanyaan tanpa berpikir.

σ^{2}

$\sigma^2$

— joriki

5

Ini tergantung pada bentuk distribusi untuk perlawanan. Tanpa mengetahui distribusinya, saya bahkan tidak bisa mengatakan resistensi rata-rata, meskipun saya pikir ada kendala.

Jadi, mari kita memilih distribusi yang tractible: Let menjadi standar deviasi dari perlawanan dari satu resistor. Biarkan perlawanan menjadi , dengan setiap tanda terjadi dengan probabilitas . Ini memberi kita kasus untuk dipertimbangkan, atau jika kita menggabungkan beberapa kasus. Tentu saja kami akan menganggap resistensi itu independen. $s$ $\mu \pm s$ $1/2$ $2^6 = 64$ $2 \times 3 \times 4=24$

Jika kita memilih dan maka rerata adalah (sedikit lebih rendah dari ), dan adalah . Jika kita memilih dan , maka adalah . $\mu = 100$ $s=1$ $54.543291$ $100 \times \frac{6}{11}$ $0.102864$ $\mu = 5$ $s=1$ $0.103693$

Berikut ini adalah ekspansi rangkaian daya untuk rasio antara varians ketika mean adalah dan variansnya adalah : . Ketika kecil, istilah yang dominan adalah . $1$ $x$ $\frac{1506}{14641} + \frac{36000}{1771561}x + \frac{218016}{19487171}x^2 + O(x^3)$ $x$ $\frac{1506}{14641} = 0.102862$

Sementara pertanyaan yang Anda ajukan secara teknis tergantung pada distribusi, Anda mungkin tertarik pada situasi di mana standar deviasi kecil dibandingkan dengan rata-rata, dan saya pikir ada batas yang jelas yang tidak tergantung pada distribusi. Linierasikan ketergantungan resistensi sirkuit sebagai fungsi dari resistansi masing-masing bagian:

C = \frac{1}{1 / R_{1} + 1 / (R_{2} + R_{3}) + 1 / (R_{4} + R_{5} + R_{6})}

$C = \frac {1}{1/R_1 + 1/(R_2+R_3) + 1/(R_4 + R_5 + R_6)}$

\approx \frac{6}{11} μ + \sum_{i = 1}^{6} (R_{i} - μ) \frac{\partial C}{\partial R_{i}} (μ, μ, μ, μ, μ, μ)

$\approx \frac{6}{11} \mu + \sum_{i=1}^6 (R_i - \mu)\frac {\partial C}{\partial R_i}(\mu,\mu,\mu,\mu,\mu,\mu)$

∴ Var (C) \approx \sum_{i = 1}^{6} Var (R_{i}) (\frac{\partial C}{\partial R_{i}} (μ, μ, μ, μ, μ, μ))^{2}

$\therefore \text{Var}(C) \approx \sum_{i=1}^6 \text{Var}(R_i)\bigg(\frac {\partial C}{\partial R_i}(\mu,\mu,\mu,\mu,\mu,\mu)\bigg)^2$

Dengan sirkuit spesifik ini, turunan parsial yang diskalakan adalah , dan $\frac {36}{121}, \frac{9}{121} ,\frac{9}{121}, \frac{4}{121},\frac{4}{121},\frac{4}{121}$

(\frac{36}{121})^{2} + 2 (\frac{9}{121})^{2} + 3 (\frac{4}{121})^{2} = \frac{1506}{14641} = 0.102862

$\bigg(\frac{36}{121}\bigg)^2 + 2\bigg(\frac{9}{121}\bigg)^2 + 3\bigg(\frac{4}{121}\bigg)^2 = \frac{1506}{14641} = 0.102862$

— Douglas Zare
sumber

1

Ini mengingatkan saya pada teorema delta Multivarian, yaitu memiliki mean dan varians masing-masing, kemudian harus memiliki varian asimtotik sebagai , di mana dan . Jawaban akhir sama dengan @Douglas Zare dan OP, yaitu 0,1028 .

R_{1}, R_{2}, R_{3}

$R_1,R_2,R_3$

μ, 2 μ, 3 μ

$\mu,2\mu,3\mu$

σ^{2}, 2 σ^{2}, 3 σ^{2}

$\sigma^2, 2\sigma^2, 3\sigma^2$

g (R_{1}, R_{2}, R_{3}) = ((1 / R_{1}) + (1 / R_{2}) + (1 / R_{3}))^{- 1}

$g(R_1,R_2,R_3) = ((1/R_1)+(1/R_2)+(1/R_3))^{-1}$

\nabla g (μ) Σ \nabla g (μ)^{'}

$\nabla g(\mu)\Sigma\nabla g(\mu)'$

\nabla g (μ) = (\frac{36}{121}, \frac{9}{121}, \frac{4}{121})

$\nabla g(\mu) = (\frac{36}{121},\frac{9}{121},\frac{4}{121})$

Σ = \[(\begin{array}{ccc} . σ^{2} & 0 & 0 \\ 0 & 2 σ^{2} & 0 \\ 0 & 0 & 3 σ^{2} \end{array}) \]

$\Sigma = \[ \left( \begin{array}{ccc}. \sigma^2 & 0 & 0 \\ 0 & 2\sigma^2 & 0 \\ 0 & 0 & 3\sigma^2 \end{array} \right)\]$

σ^{2}

$\sigma^2$

— VitalStatistix

1

Saya memperingatkan bahwa, karena saya beralasan, ini adalah jawaban yang panjang , tetapi mungkin seseorang dapat menemukan sesuatu yang lebih baik mulai dari usaha saya (yang mungkin tidak optimal). Juga, saya salah membaca pertanyaan OP asli dan berpikir itu mengatakan bahwa resistensi biasanya terdistribusi. Saya akan meninggalkan jawabannya, tapi itu anggapan yang mendasarinya.

1. Penalaran fisik dari masalah

Alasan saya adalah sebagai berikut: ingat bahwa, untuk resistor yang paralel, resistensi setara diberikan oleh: $R_{eq}$

R_{e q}^{- 1} = \sum_{i}^{N} \frac{1}{R_{i}},

$R_{eq}^{-1}=\sum_{i}^{N}\frac{1}{R_i},$

di mana adalah resistensi dari setiap bagian dari rangkaian. Dalam kasus Anda, ini memberi kami $R_i$

R_{e q} = {(\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{R_{3}})}^{- 1}, (*)

$R_{eq}=\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}\right)^{-1},\ \ \ (*)$ mana adalah bagian dari rangkaian dengan 1 hambatan, dan karenanya memiliki distribusi normal dengan mean dan varians , dan dengan alasan yang sama adalah resistansi yang setara dari bagian sirkuit dengan dua resistansi dan, akhirnya, adalah resistansi yang setara dari bagian sirkuit dengan tiga resistansi. Anda harus menemukan distribusi dan dari sana dapatkan variansnya.

R_{1}

$R_1$

μ

$\mu$

σ^{2}

$\sigma^2$

R_{2} \sim N (2 μ, 2 σ^{2})

$R_2\sim N(2\mu,2\sigma^2)$

R_{3} \sim N (3 μ, 3 σ^{2})

$R_3\sim N(3\mu,3\sigma^2)$

R_{e q}

$R_{eq}$

2. Memperoleh distribusi $R_{eq}$

Salah satu cara untuk menemukan distribusi adalah dengan memperhatikan bahwa: Dari sini, kami juga mencatat bahwa kami dapat menulis (yang diperoleh melalui Teorema Bayes), yang, dengan asumsi independensi antara , dan (yang secara fisik masuk akal), dapat ditulis sebagai Mengganti ini dalam dan mencatat bahwa konsekuensi lain dari independensi antara tiga resistensi adalah bahwa

p (R_{e q}) = \int p (R_{e q}, R_{1}, R_{2}, R_{3}) d R_{1} d R_{2} d R_{3} = \int p (R_{1} | R_{e q}, R_{2}, R_{3}) p (R_{e q}, R_{2}, R_{3}) d R_{1} d R_{2} d R_{3} . (1)

$p(R_{eq})=\int p(R_{eq},R_1,R_2,R_3)dR_1dR_2dR_3=\int p(R_1|R_{eq},R_2,R_3)p(R_{eq},R_2,R_3)dR_1dR_2dR_3.\ \ \ (1)$

p (R_{e q}, R_{2}, R_{3}) = p (R_{2} | R_{e q}, R_{3}) p (R_{e q}, R_{3}) = p (R_{2} | R_{e q}, R_{3}) p (R_{e q} | R_{3}) p (R_{3})

$p(R_{eq},R_2,R_3)=p(R_2|R_{eq},R_3)p(R_{eq},R_3)=p(R_2|R_{eq},R_3)p(R_{eq}|R_3)p(R_3)$

R_{1}

$R_1$

R_{2}

$R_2$

R_{3}

$R_3$

p (R_{e q}, R_{2}, R_{3}) = p (R_{2} | R_{e q}) p (R_{e q} | R_{3}) p (R_{3}) .

$p(R_{eq},R_2,R_3)=p(R_2|R_{eq})p(R_{eq}|R_3)p(R_3).$

(1)

$(1)$

p (R_{1} | R_{e q}, R_{2}, R_{3}) = p (R_{1} | R_{e q})

$p(R_1|R_{eq},R_2,R_3)=p(R_1|R_{eq})$ , kita mendapatkan: Masalah terakhir kita adalah menemukan , yaitu distribusi rv . Masalah ini analog dengan yang kami temukan di sini, kecuali sekarang Anda mengganti dalam persamaan. oleh konstanta, katakanlah, . Mengikuti argumen yang sama seperti di atas, Anda dapat menemukan bahwa Kelihatannya sisanya adalah mengganti distribusi yang dikenal, kecuali untuk sedikit masalah: distribusi dapat diperoleh dari dengan memperhatikan bahwa

p (R_{e q}) = \int p (R_{1} | R_{e q}) p (R_{2} | R_{e q}) p (R_{e q} | R_{3}) p (R_{3}) d R_{1} d R_{2} d R_{3} = \int p (R_{e q} | R_{3}) p (R_{3}) d R_{3} . (2)

$p(R_{eq})=\int p(R_1|R_{eq})p(R_2|R_{eq})p(R_{eq}|R_3)p(R_3)dR_1dR_2dR_3=\int p(R_{eq}|R_3)p(R_3)dR_3.\ \ \ (2)$

p (R_{e q} | R_{3})

$p(R_{eq}|R_3)$

R_{e q} | R_{3}

$R_{eq}|R_3$

R_{3}

$R_3$

(*)

$(*)$

r_{3}

$r_3$

p (R_{e q} | R_{3}) = \int p (R_{e q} | R_{2}, R_{3}) p (R_{2}) d R_{2} . (3)

$p(R_{eq}|R_3)=\int p(R_{eq}|R_2,R_3)p(R_2)dR_2.\ \ \ (3)$

R_{e q} | R_{2}, R_{3}

$R_{eq}|R_2,R_3$

(*)

$(*)$

X_{1}

$X_1$ adalah gaussian, jadi, Anda pada dasarnya perlu menemukan distribusi variabel acak mana dan adalah konstanta, dan adalah gaussian dengan mean dan varians . Jika perhitungan saya benar, distribusi ini adalah: mana, jadi distribusi akan menjadi

W = {(\frac{1}{X} + a + b)}^{- 1},

$W=\left(\frac{1}{X}+a+b\right)^{-1},$

a

$a$

b

$b$

X

$X$

μ

$\mu$

σ^{2}

$\sigma^2$

p (W) = \frac{1}{[1 - W (a + b)]^{2}} \frac{1}{\sqrt{2 π σ^{2}}} exp (- \frac{X (W) - μ}{2 σ^{2}}),

$p(W)=\frac{1}{[1-W(a+b)]^2}\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}\text{exp}\left(-\frac{X(W)-\mu}{2\sigma^2}\right),$

X (W) = \frac{1}{W^{- 1} - a - b},

$X(W)=\frac{1}{W^{-1}-a-b},$

R_{e q} | R_{2}, R_{3}

$R_{eq}|R_2,R_3$

p (R_{e q} | R_{2}, R_{3}) = \frac{1}{[1 - R_{e q} (a + b)]^{2}} \frac{1}{\sqrt{2 π σ^{2}}} exp (- \frac{X (R_{e q}) - μ}{2 σ^{2}}),

$p(R_{eq}|R_2,R_3)=\frac{1}{[1-R_{eq}(a+b)]^2}\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}\text{exp}\left(-\frac{X(R_{eq})-\mu}{2\sigma^2}\right),$ di mana dan . Masalahnya adalah bahwa saya tidak tahu apakah ini dapat ditelusuri secara analitis untuk menyelesaikan integral dalam persamaan , yang kemudian akan membawa kita untuk memecahkan masalah dengan mengganti hasilnya dalam persamaan . Setidaknya bagi saya pada saat malam ini tidak.

a = 1 / R_{2}

$a=1/R_2$

b = 1 / R_{3}

$b=1/R_3$

(3)

$(3)$

(2)

$(2)$

— Néstor
sumber

Anda mengasumsikan distribusi normal, meskipun resistensi tidak bisa negatif? Dugaan saya adalah bahwa ini akan membuat varian dari rangkaian berbeda.

— Douglas Zare

1

Saya tahu, itu juga merusak saya, tetapi dalam praktiknya itu benar-benar tergantung pada nilai dan . Jika dan , maka kita dapat "menyimpan" model. Dalam kondisi normal, dispersi resistensi tidak terlalu tinggi, sehingga asumsi terakhir jelas terpenuhi. Ini adalah sesuatu yang awalnya mengganggu saya juga ketika orang memodelkan tinggi sebagai variabel acak normal, tetapi dengan alasan yang sama yang saya berikan di sini, beberapa orang di sini di Stack-exchange membuat saya merasa oke dengan itu :-).

μ

$\mu$

σ^{2}

$\sigma^2$

μ >> 0

$\mu>>0$

μ >> σ

$\mu>>\sigma$

— Néstor

Hmm, saya pikir pemodelan ketinggian seperti biasa sangat buruk sehingga saya menggunakannya sebagai contoh distribusi yang jelas tidak normal. Saya kira mungkin tidak buruk jika Anda memiliki populasi pria dewasa yang sehat dari latar belakang genetik yang sama. Namun, saya ingin mendengar dari seorang ahli biologi bahwa ini tidak masalah. Alasan saya terlalu sering mendengar bahwa ukuran masing-masing tulang independen adalah omong kosong.

— Douglas Zare

Saya baru menyadari bahwa resistensi tidak terdistribusi secara normal (saya bersumpah bahwa saya membacanya di mana pada jawaban OP asli, tapi saya pikir itu hanya imajinasi saya).

— Néstor