Apakah variabel acak mengikuti aturan aljabar yang sama dengan angka biasa?

Dalam komentar pada jawaban saya untuk pertanyaan terakhir tentang jumlah variabel acak , saya menemukan tautan ke artikel Wikipedia tentang distribusi rasio , dan melihat klaim aneh berikut di sana:

Aturan aljabar yang dikenal dengan angka biasa tidak berlaku untuk aljabar variabel acak. Misalnya, jika suatu produk $C = AB$ dan rasio adalah $D=C/A$ itu tidak selalu berarti bahwa distribusi $D$ dan $B$ adalah sama.

Klaim ini telah ada dalam artikel sejak 2007 . Itu ditambahkan di sana oleh editor yang tampaknya memiliki reputasi sama yang awalnya membuat artikel dan menyumbang banyak konten aslinya dan saat ini, dan tampaknya dikutip untuk buku The Aljabar Variabel Acak oleh Melvin D. Springer, diterbitkan pada tahun 1979 (meskipun itu tidak 100% jelas apakah tanda kutip yang muncul kemudian dalam paragraf yang sama sebenarnya dimaksudkan untuk menutupi klaim ini juga).

Jelas, klaim itu tampak seperti omong kosong bagi saya. Saya hanya dapat mengeditnya dari artikel Wikipedia, tetapi mengingat bahwa artikel itu telah berdiri tanpa tertandingi di sana selama lebih dari 10 tahun, saya pikir saya harus memastikan saya bukan orang yang keliru di sini. Tidak memiliki buku Springer untuk memeriksa kutipan (mungkin), saya pikir saya akan meminta bantuan para ahli di sini. Secara khusus, karena klaim sebagaimana dinyatakan benar-benar terdiri dari dua bagian, pertanyaan saya juga:

Bagian 1: Apakah variabel acak mengikuti aturan aljabar yang sama dengan angka biasa, atau apakah mereka (dalam beberapa hal) tidak? Jika tidak, bagaimana perbedaan aturannya? Apakah itu tergantung pada formalisme apa (yang diterima secara umum) yang diadopsi seseorang?

Bagian 2: Jelas bahwa, bahkan untuk bilangan biasa, $D = \frac{AB}{A}$ tidak selalu sama dengan $B$ , sejak $D$ bahkan tidak ditentukan kapan $A = 0$ . Apakah perbedaan sepele ini satu - satunya cara $D$ dan $B$ dapat gagal untuk menjadi sama, bahkan ketika mereka adalah variabel acak? Secara khusus, apakah pernyataan berikut ini selalu berlaku untuk variabel acak (nyata atau kompleks):

A \neq 0 ⟹ \frac{A B}{A} = B .

$A \ne 0 \implies \frac{AB}{A} = B.$

Bagian 3 (bonus): Apa yang dikatakan buku Springer tentang hal ini, dan apakah ada sesuatu di sana yang dapat diambil untuk mendukung klaim yang dikutip di atas? Apakah itu, seperti yang saya duga, benar-benar dianggap sebagai sumber terpercaya untuk klaim tentang matematika dan statistik arus utama?

— Ilmari Karonen
sumber

Komentar matematika pada Bagian 2: Selalu demikian

a b / b = a

$ab/b = a$ ketika itu didefinisikan , yaitu bukan persamaan adalah masalahnya tetapi definisi belaka! Dalam pengertian itu, asumsikan itu

B

$B$ adalah RV sedemikian rupa

B (ω) \neq 0

$B(\omega) \neq 0$ untuk semua

ω

$\omega$ . Kemudian

A B / B

$AB/B$ dan

B

$B$ memiliki distribusi yang sama hanya karena mereka adalah variabel acak yang sama. Variabel acak hanyalah fungsi dari beberapa ruang probabilitas

Ω

$\Omega$ ke dalam set apa pun (real jika Anda ingin melakukan aljabar semacam ini dalam pengaturan alami dengan itu) ... Juga: Apa sebenarnya yang Anda maksud dengan

A \neq 0

$A \neq 0$ ? untuk semua

ω

$\omega$ ? Hanya untuk beberapa? ...

— Fabian Werner

(+1) Bahasa dalam artikel Wikipedia itu buruk, tetapi maksudnya jelas: artinya membahas aljabar distribusi, bukan variabel acak saja . Jika Anda memilih untuk mengeditnya, maka pertimbangkan untuk mengklarifikasi bahasa tanpa mengubah ide yang ingin disampaikannya.

— whuber

@FabianWerner: Saya menggunakan konvensi (AFAIK cukup standar) yang bisa kita hilangkan

(ω)

$(\omega)$ saat menulis rv

A (ω)

$A(\omega)$ , tapi tentu saja bukan itu yang dilakukan artikel Wikipedia. Anda mungkin menemukan sesuatu di sana.

— Ilmari Karonen

@Carl: Mengapa Anda pikir mereka akan menjadi vektor dalam bentuk apa pun? Pembagian oleh vektor umumnya tidak didefinisikan pula, jadi untuk ekspresi masuk akal,

A

$A$ cukup banyak harus menjadi skalar (atau lebih tepatnya fungsi skalar-nilai dari ruang probabilitas, jika Anda ingin secara ketat mengikuti formalisme standar seperti dicatat oleh Fabian Werner di atas). Saya seharusnya

B

$B$ bisa menjadi vektor, meskipun saya tidak melihat alasan khusus untuk menganggap itu.

— Ilmari Karonen

@Carl: Eh, tidak. Setidaknya tidak kecuali Anda bekerja di ruang probabilitas tiga elemen (biasanya, elemen atau bahkan ukuran ruang probabilitas

Ω

$\Omega$ tidak ditentukan secara eksplisit, karena itu benar-benar hanya alat formal untuk bekerja dengan variabel yang nilainya tidak pasti) dan menggunakan notasi lucu untuk fungsi di ruang tersebut.

— Ilmari Karonen

Aljabar variabel acak (ARV) adalah perpanjangan dari aljabar angka "aljabar sekolah menengah" yang biasa. Ini harus demikian karena angka dapat tertanam dalam ARV sebagai rv sama dengan konstanta dengan probabilitas 1. Jadi tidak mungkin ada inkonsistensi, tetapi bisa juga berupa properti baru yang tidak mengatakan apa-apa tentang angka. Dalam ARV, persamaan adalah persamaan dalam distribusi , jadi itu benar-benar merupakan aljabar distribusi. Tetapi untuk konstanta rv dengan probabilitas 1, ini merupakan perpanjangan dari persamaan angka dalam arti biasa.

Tentang contoh yang diberikan dari Wikipedia, tidak ada ketidakkonsistenan di sana, hanya ada (mungkin bagi seseorang) kemungkinan mengejutkan yang muncul karena ada banyak variabel acak sehingga $X$ dan $X^{-1}$ memiliki distribusi yang sama, sementara hanya ada dua angka dengan properti ini, $-1$ dan 1. Distribusi Cauchy memiliki properti ini, lihat Apa yang dapat kita katakan tentang distribusi variabel acak $X$ seperti yang $X$ dan kebalikannya $1/X$ memiliki distribusi yang sama? .

— kjetil b halvorsen
sumber