Saya mencoba memodelkan dan memperkirakan deret waktu yang bersifat siklik daripada musiman (yaitu ada pola yang mirip musim, tetapi tidak dengan periode tetap). Ini harus dimungkinkan untuk dilakukan dengan menggunakan model ARIMA, sebagaimana disebutkan dalam Bagian 8.5 dari Peramalan: prinsip dan praktik :

Nilai penting jika data menunjukkan siklus. Untuk mendapatkan prakiraan siklus, perlu memiliki bersama dengan beberapa kondisi tambahan pada parameter. Untuk model AR (2), perilaku siklik terjadi jika .p ≥ 2 ϕ 2 1 + 4 ϕ 2 < $p$$p\geq 2$$\phi^2_1+4\phi_2<0$

Apa kondisi tambahan ini pada parameter dalam kasus ARIMA umum (p, d, q)? Saya belum dapat menemukannya di mana pun.

Beberapa intuisi grafis

Pada model AR , perilaku siklik berasal dari akar konjugat kompleks hingga polinomial karakteristik. Untuk memberikan intuisi, saya telah merencanakan fungsi respons impuls di bawah ini ke dua contoh model AR (2).

1. Proses persisten dengan akar yang kompleks.
2. Proses persisten dengan akar nyata.

Untuk , Root dari polinomial karakteristik adalah mana adalah nilai eigen dari matriks saya definisikan di bawah ini. Dengan nilai eigen konjugasi kompleks dan , mengontrol redaman (di mana ) dan mengontrol frekuensi gelombang kosinus.$j=1\,\ldots, p$$\frac{1}{\lambda_j}$$\lambda_1, \ldots, \lambda_p$$A$$\lambda = r e^{i \omega t}$$\bar{\lambda}= r e^{-i \omega t}$$r$$r \in [0, 1)$$\omega$

Detail AR (2) contoh

Mari kita asumsikan kita memiliki AR (2):

$$y_t = \phi_1 y_{t-1} + \phi_2 y_{t-2} + \epsilon_t$$

Anda dapat menulis AR (p) apa saja sebagai VAR (1) . Dalam hal ini, representasi VAR (1) adalah:

$$\underbrace{\begin{bmatrix} y_t \\ y_{t-1} \end{bmatrix} }_{X_t} = \underbrace{\begin{bmatrix} \phi_1 & \phi_2 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}}_{A} \underbrace{\begin{bmatrix} y_{t-1} \\ y_{t-2} \end{bmatrix}}_{X_{t-1}} + \underbrace{\begin{bmatrix}\epsilon_t \\ 0 \end{bmatrix}}_{U_t}$$ Matriks mengatur dinamika dan karenanya . Persamaan karakteristik dari matriks adalah: Nilai eigen dari adalah: Vektor eigen dari adalah: $A$$X_t$$y_t$$A$ $$\lambda^2 - \phi_1 \lambda - \phi_2 = 0$$ $A$ $$\lambda_1 = \frac{\phi_1 + \sqrt{\phi_1^2 + 4\phi_2}}{2} \quad \quad \lambda_2 = \frac{\phi_1 - \sqrt{\phi_1^2 + 4\phi_2}}{2}$$ $A$ $$\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} \lambda_1 \\ 1 \end{bmatrix} \quad \quad \mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} \lambda_2 \\ 1 \end{bmatrix}$$

Perhatikan bahwa . Membentuk dekomposisi nilai eigen dan menaikkan ke kekuatan . $\operatorname{E}[X_{t+k} \mid X_t, X_{t-1}, \ldots] = A^kX_t$$A$$k$

$$A^k = \begin{bmatrix} \lambda_1 & \lambda_2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_1^k & 0 \\ 0 & \lambda_2^k \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{\lambda_1 - \lambda_2} & \frac{-\lambda_2}{\lambda_1 - \lambda_2}\\ \frac{-1}{\lambda_1 - \lambda_2}& \frac{\lambda_1}{\lambda_1 - \lambda_2} \end{bmatrix}$$

Nilai eigen nyata mengarah ke peluruhan saat Anda menaikkan . Nilai eigen dengan komponen imajiner non-nol mengarah pada perilaku siklik.$\lambda$$\lambda^k$

Nilai eigen dengan kasus komponen imajiner:$\phi_1^2 + 4\phi_2 < 0$

Dalam konteks AR (2), kami memiliki nilai eigen yang kompleks jika . Karena nyata, mereka harus berpasangan yang merupakan konjugat kompleks satu sama lain.$\phi_1^2 + 4\phi_2 < 0$$A$

Mengikuti Bab 2 Prado dan Barat (2010), mari

$$c_t = \frac{\lambda}{\lambda - \bar{\lambda}} y_t - \frac{\lambda \bar{\lambda}}{\lambda - \bar{\lambda}} y_{t-1}$$

Anda dapat menunjukkan ramalan diberikan oleh:$\operatorname{E}[y_{t+k} \mid y_t, y_{t-1}, \ldots]$

$$\begin{align*} \operatorname{E}[y_{t+k} \mid y_t, y_{t-1}, \ldots] &= c_t \lambda ^k + \bar{c}_t \bar{\lambda}^k \\ &= a_t r^k \cos(\omega k + \theta_t) \end{align*}$$

Berbicara secara longgar, menambahkan konjugat kompleks membatalkan komponen imajiner mereka sehingga membuat Anda dengan gelombang kosinus tunggal teredam dalam ruang bilangan real. (Catatan kita harus memiliki untuk stasioneritas.)$0 \leq r < 1$

Jika Anda ingin menemukan , , , , mulailah dengan menggunakan rumus Euler yang , kita dapat menulis:$r$$\omega$$a_t$$\theta_t$$re^{i \theta} = r \cos \theta + r \sin \theta$

$$\lambda = re^{i\omega} \quad \bar{\lambda} = re^{-i\omega} \quad r = |\lambda| = \sqrt{ -\phi_2}$$ $$\omega = \operatorname{atan2}\left( \operatorname{imag} \lambda, \operatorname{real} \lambda \right) = \operatorname{atan2}\left( \frac{1}{2} \sqrt{-\phi_1^2-4\phi_2}, \frac{1}{2} \phi_1\right)$$

$$a_t = 2 |c_t| \quad \quad \theta_t = \operatorname{atan2}\left( \operatorname{imag} c_t, \operatorname{real} c_t \right)$$

Lampiran

Catatan Peringatan terminologi yang membingungkan! Menghubungkan polinomial karakteristik A dengan polinom karakteristik AR (p)

Trik time-series lainnya adalah menggunakan operator lag untuk menulis AR (p) sebagai:

$$\left(1 - \phi_1 L - \phi_2L^2 - \ldots - \phi_pL^p \right)y_t = \epsilon_t$$

Ganti operator lag dengan beberapa variabel dan orang sering menyebut sebagai polinom karakteristik dari model AR (p). Seperti yang dibahas dalam jawaban ini , ini adalah persis polinomial karakteristik mana . Akar adalah kebalikan dari nilai eigen. (Catatan: untuk model yang tidak bergerak yang Anda inginkan , yang ada di dalam unit cirlce, atau ekuivalen , yang berada di luar lingkaran unit.)$L$$z$$1 - \phi_1 z - \ldots - \phi_pz^p$ A z = 1$A$$z = \frac{1}{\lambda}$$z$$|\lambda| < 1$$|z|>1$

Referensi

Prado, Raquel dan Mike West, Time Series: Modeling, Computation, and Inference , 2010