Apa kaitan antara Kecukupan Bayesian dengan Kecukupan Frequentist?

9

Definisi paling sederhana dari statistik yang cukup dalam perspektif frequentist diberikan di sini di Wikipedia . Namun, baru-baru ini saya menemukan buku Bayesian, dengan definisi . Disebutkan dalam tautan bahwa keduanya setara, tetapi saya tidak mengerti caranya. Juga, di halaman yang sama, di bagian «Jenis Kecukupan Lain» dinyatakan bahwa kedua definisi tersebut tidak setara dalam ruang dimensi tak terbatas ... $P(\theta|x,t)=P(\theta|t)$

Juga, bagaimana kecukupan prediktif berhubungan dengan kecukupan klasik?

bayesian mathematical-statistics sufficient-statistics

— Seorang lelaki tua di laut.
sumber

4

Jika statistik cukup dengan frekuensi yang sering, maka , maka $T$ $p(\mathbf{x} \mid \theta, t) = p(\mathbf{x} \mid t)$

\begin{aligned} p (θ ∣ x, t) & = \frac{p (x ∣ t, θ) p (t ∣ θ) p (θ)}{p (x ∣ t) p (t)} \\ (freq. suff.) & = \frac{p (t ∣ θ) p (θ)}{p (t)} \\ = p (θ ∣ t) . \end{aligned}

$\begin{align*} p(\theta \mid \mathbf{x}, t) &= \frac{p(\mathbf{x}\mid t,\theta)p(t \mid \theta) p(\theta)}{p(\mathbf{x}\mid t)p(t)} \\ &= \frac{p(t \mid \theta) p(\theta)}{p(t)} \tag{freq. suff.}\\ &= p(\theta \mid t). \end{align*}$

$T$

\begin{aligned} p (x ∣ θ, t) & = \frac{p (x, θ, t)}{p (θ, t)} \\ = \frac{p (θ ∣ x, t) p (x, t)}{p (θ ∣ t) p (t)} \\ (Bayesian suff.) & = \frac{p (x, t)}{p (t)} \\ = p (x ∣ t) . \end{aligned}

$\begin{align*} p(\mathbf{x} \mid \theta, t) &= \frac{p(\mathbf{x}, \theta,t)}{p(\theta,t)}\\ &= \frac{p(\theta \mid \mathbf{x},t) p(\mathbf{x},t)}{p(\theta\mid t)p(t)}\\ &= \frac{p(\mathbf{x},t)}{p(t)} \tag{Bayesian suff.}\\ &= p(\mathbf{x} \mid t). \end{align*}$

Mengenai "kecukupan prediktif," apa itu?

\begin{aligned} p (x^{'} ∣ x) & = \int p (x^{'} ∣ θ) p (θ ∣ x) d θ \\ (Bayesian suff.) & = \int p (x^{'} ∣ θ) p (θ ∣ t) d θ \\ = p (x^{'} ∣ t) . \end{aligned}

$\begin{align*} p(\mathbf{x}' \mid \mathbf{x}) &= \int p(\mathbf{x}' \mid \theta)p(\theta \mid \mathbf{x}) d\theta\\ &= \int p(\mathbf{x}' \mid \theta) p(\theta \mid t)d\theta \tag{Bayesian suff.}\\ &= p(\mathbf{x}' \mid t). \end{align*}$

— Taylor
sumber

1

Taylor, itu didefinisikan dalam tautan yang sama, tepat di bawah di bagian Bayesian Sufficiency.

— Seorang pria tua di laut.

3

Kami menemukan sebuah fenomena menarik beberapa tahun yang lalu , ketika menyelidiki pilihan model Bayesian dengan ABC. Yang menurut saya terkait dengan pertanyaan ini. Memang ada gagasan kecukupan untuk pilihan model Bayesian yang tampaknya tidak terlalu berarti di luar pendekatan Bayesian.

M_{1} = {f_{θ} (\cdot); θ \in Θ}

$\mathfrak{M}_1=\{f_\theta(\cdot); \theta\in\Theta\}$

M_{2} = {g_{ξ} (\cdot); ξ \in Ξ}

$\mathfrak{M}_2=\{g_\xi(\cdot); \xi\in\Xi\}$

x = (x_{1}, \dots, x_{n})

$\mathbf{x}=(x_1,\ldots,x_n)$

S

$S$

X

$\mathbf{X}$

S (X)

$S(\mathbf{X})$

$\mathbf{X}$ $S(\mathbf{X})$

— Xi'an
sumber