Berapakah perkiraan normal dari distribusi multinomial?

Jika ada beberapa kemungkinan perkiraan, saya mencari yang paling dasar.

Anda dapat memperkirakannya dengan distribusi normal multivariat dengan cara yang sama dengan distribusi binomial yang diperkirakan oleh distribusi normal univariat. Periksa Elemen Teori Distribusi dan Distribusi Multinomial halaman 15-16-17.

Misalkan menjadi vektor probabilitas Anda. Kemudian vektor mean dari distribusi normal multivariat adalah n p = ( n p 1 , n p 2 , . . . , N p k ) . Matriks kovarians adalah k × k matriks simetris. Unsur-unsur diagonal sebenarnya varian X i 's; yaitu n p $P=(p_1,...,p_k)$$np=(np_1,np_2,...,np_k)$$k \times k$$X_i$ , i = 1 , 2 ... , k . Elemen off-diagonal pada baris ke-j dan kolom ke-j adalah Cov ( X i , X j ) = - n p i p j , di mana i tidak sama dengan j .$np_i(1-p_i)$$i=1,2...,k$$\text{Cov}(X_i,X_j)=-np_ip_j$$i$$j$

Kerapatan yang diberikan dalam jawaban ini merosot, jadi saya menggunakan yang berikut untuk menghitung kerapatan yang dihasilkan dari perkiraan normal:

Ada teorema yang mengatakan diberi variabel acak $X = [X_1, \ldots, X_m]^T \sim \text{Multinom}(n, p)$ , untuk $m$ berdimensi vektor $p$ dengan $\sum_i p_i = 1$ dan $\sum_i X_i = n$ , itu;

$$X \xrightarrow{d} \sqrt{n} \, \text{diag}(u) \, Q \begin{bmatrix} Z_1 \\ \vdots \\ Z_{m-1} \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} n p_1 \\ \vdots \\ n p_m \end{bmatrix},$$

$n$

• $u$$u_i = \sqrt{p_i}$
• $Z_i \sim N(0,1)$$i = 1, \ldots, m-1$
• $Q$$u$

$m-1$$m-1$$X$$X_m$

$Q$$I - 2 v v^T$$v_i = (\delta_{im} - u_i) / \sqrt{2(1 - u_m)}$

$m-1$$Q$$m-1$$m-1$$\hat{X}$$\hat{Q}$

$$\hat{X} \xrightarrow{d} \sqrt{n} \text{diag}(\hat{u}) \hat{Q} \begin{bmatrix} Z_1 \\ \vdots \\ Z_{m-1} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} n p_1 \\ \vdots \\ n p_{m-1} \end{bmatrix} \sim \mathcal{N} \left( \mu, n \Sigma \right),$$

$n$

• $\hat{u}$$m-1$$u$
• $\mu = [ n p_1, \ldots, n p_{m-1}]^T$
• $n \Sigma = n A A^T$$A = \text{diag}( \hat{u} ) \hat{Q}$

Sisi kanan dari persamaan terakhir adalah kepadatan non-degenerasi yang digunakan dalam perhitungan.

Seperti yang diharapkan, ketika Anda memasukkan semuanya, Anda mendapatkan matriks kovarians berikut:

$$(n\Sigma)_{ij} = n \sqrt{p_i p_j} (\delta_{ij} - \sqrt{p_i p_j})$$

$i,j = 1, \ldots, m-1$$m-1$$m-1$

Entri blog ini adalah titik awal saya.