Seragam PDF perbedaan dua rv

Apakah mungkin untuk memiliki perbedaan PDF dari dua tampilan iid rv seperti persegi panjang (bukan, katakanlah, segitiga yang kita dapatkan jika rv diambil dari distribusi seragam).

yaitu apakah mungkin untuk PDF f dari jk (untuk dua iid rv diambil dari beberapa distribusi) memiliki f (x) = 0,5 untuk semua -1 <x <1?

Tidak ada batasan pada distribusi yang kami ambil j dan k kecuali bahwa min adalah -1 dan maks adalah 1.

Setelah beberapa percobaan, saya pikir ini mungkin tidak mungkin.

random-variable pdf iid

— Nathan
sumber

Perbedaan dari dua distribusi seragam adalah distribusi segitiga, jadi jika Anda bertanya apakah mungkin untuk mendapatkan seragam dari perbedaan seragam iid, maka jawabannya tidak.

— Tim

Q yang sama ditanyakan di sini: math.stackexchange.com/questions/2048939/… sejauh ini tanpa jawaban!

— kjetil b halvorsen

Memang akan tampak sulit untuk menghindari realisasi di luar

ketika kedua

dan

memiliki massa probabilitas dekat dengan titik akhir ini.

[- 1, 1]

$[-1,1]$

j

$j$

k

$k$

— Christoph Hanck

Ini tidak mungkin. Untuk ingatan saya ini (dalam bentuk yang sedikit berbeda) sudah dijawab di suatu tempat di situs. Saya akan melihat apakah saya dapat menemukannya

— Glen_b -Reinstate Monica

@Glen_b Anda mungkin mengingat stats.stackexchange.com/questions/125360/… . Ini tidak cukup duplikat, meskipun, karena perbedaan

variabel iid, meskipun dinyatakan sebagai jumlah

dapat melibatkan sejumlah variabel dengan distribusi non-identik. Saya percaya modifikasi sepele dari solusi saya akan mengatasi perbedaan ini; Solusi Silverfish sepertinya diterapkan secara langsung dengan hampir tidak ada modifikasi, tetapi yang pertama harus menghilangkan banyak bahan asing untuk melihatnya.

X - Y

$X-Y$

X + (- Y),

$X+(-Y),$

— whuber

Jawaban:

Teorema: Tidak ada $\text{Dist}$ distribusi yang $A-B \sim \text{U}(-1,1)$ ketika $A, B \sim \text{IID Dist}$ .

Bukti: Pertimbangkan dua variabel acak $A, B \sim \text{IID Dist}$ dengan fungsi karakteristik umum $\varphi$ . Yang menunjukkan perbedaan mereka dengan $D=A-B$ . Fungsi karakteristik dari perbedaan adalah:

\begin{aligned} φ_{D} (t) = E (\exp (i t D)) & = E (\exp (i t (A - B))) \\ = E (\exp (i t A)) E (\exp (- i t B)) \\ = φ (t) φ (- t) \\ = φ (t) \bar{φ (t)} \\ = | φ (t) |^{2} . \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} \varphi_D(t) = \mathbb{E}(\exp(i t D)) &= \mathbb{E}(\exp(i t (A-B))) \\[6pt] &= \mathbb{E}(\exp(i t A)) \mathbb{E}(\exp(-i t B)) \\[6pt] &= \varphi(t) \varphi(-t) \\[6pt] &= \varphi(t) \overline{\varphi(t)} \\[6pt] &= |\varphi(t)|^2. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$

(Baris keempat dari kerja ini mengikuti dari fakta bahwa fungsi karakteristik adalah Hermitian .) Sekarang, mengambil $D \sim \text{U}(-1,1)$ memberikan bentuk spesifik untuk $\varphi_D$ , yaitu:

\begin{aligned} φ_{D} (t) = E (\exp (i t D)) & = \int_{R} \exp (i t r) f_{D} (r) d r \\ = \frac{1}{2} \int_{- 1}^{1} \exp (i t r) d r \\ = \frac{1}{2} [\frac{\exp (i t r)}{i t}]_{r = - 1}^{r = 1} \\ = \frac{1}{2} \frac{\exp (i t) - \exp (- i t)}{i t} \\ = \frac{1}{2} \frac{(\cos (t) + i \sin (t)) - (\cos (- t) + i \sin (- t))}{i t} \\ = \frac{1}{2} \frac{(\cos (t) + i \sin (t)) - (\cos (t) - i \sin (t))}{i t} \\ = \frac{1}{2} \frac{2 i \sin (t)}{i t} \\ = \frac{\sin (t)}{t} = sinc (t) . \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} \varphi_D(t) = \mathbb{E}(\exp(itD)) &= \int \limits_{\mathbb{R}} \exp(itr) f_D(r) dr \\[6pt] &= \frac{1}{2} \int \limits_{-1}^1 \exp(itr) dr \\[6pt] &= \frac{1}{2} \Bigg[ \frac{\exp(itr)}{it} \Bigg]_{r=-1}^{r=1} \\[6pt] &= \frac{1}{2} \frac{\exp(it)-\exp(-it)}{it} \\[6pt] &= \frac{1}{2} \frac{(\cos(t) + i \sin(t)) - (\cos(-t) + i \sin(-t))}{it} \\[6pt] &= \frac{1}{2} \frac{(\cos(t) + i \sin(t)) - (\cos(t) - i \sin(t))}{it} \\[6pt] &= \frac{1}{2} \frac{2i \sin(t)}{it} \\[6pt] &= \frac{\sin(t)}{t} = \text{sinc}(t). \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$

$\text{Dist}$ $\varphi$

| φ (t) |^{2} = φ_{D} (t) = sinc (t) .

$|\varphi(t)|^2 = \varphi_D(t) = \text{sinc}(t).$

$\blacksquare$

— Ben - Pasang kembali Monica
sumber

Ini adalah pendapat insinyur listrik tentang masalah ini, dengan sudut pandang yang lebih cocok untuk dsp.SE daripada stats.SE, tetapi tidak masalah.

$X$ $Y$ $f(x)$ $Z$ $X-Y$

f_{Z} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f (x) f (x + z) d x .

$f_Z(z) = \int_{-\infty}^\infty f(x)f(x+z) \ \mathrm dx.$

f_{Z} (z)

$f_Z(z)$

z = 0

$z=0$

f_{Z}

$f_Z$

f

$f$

z = 0

$z=0$

Z

$Z$

f_{Z}

$f_Z$

f_{Z}

$f_Z$

f_{Z}

$f_Z$ adalah kepadatan yang seragam mengarah ke kontradiksi dan asumsi itu pasti salah.

$f_Z \sim \mathcal U[-1,1]$ $X$ $Y$ $Z$ $X$ $Y$ $X$ $Y$

— Dilip Sarwate
sumber

U (- 1, 1)

$\text{U}(-1,1)$

sinc

$\text{sinc}$

Z

$Z$

U [- 1, 1]

$\mathcal U[-1,1]$

Z

$Z$

f_{Z} \sim U [- 1, 1]

$f_Z \sim \mathcal U[-1,1]$

f_{Z}

$f_Z$

f_{Z} \sim U [- 1, 1]

$f_Z \sim \mathcal U[-1,1]$