Distribusi normal

8

Ada masalah statistik yang sayangnya saya tidak tahu harus mulai dari mana (saya belajar sendiri sehingga tidak ada yang bisa saya tanyakan, jika saya tidak mengerti sesuatu.

Pertanyaannya adalah

$X,Y$ iid $N(a,b^2); a=0; b^2=6; var(X^2+Y^2)=?$

self-study normal-distribution random-variable

— Ang
sumber

6

Karena Anda berurusan dengan data normal IID, perlu generalisasi masalah Anda sedikit untuk melihat kasus di mana Anda memiliki $X_1, ..., X_n \sim \text{IID N}(a, b^2)$ dan Anda ingin $Q_n \equiv \mathbb{V}(\sum_{i=1}^n X_i^2)$ . (Pertanyaan Anda sesuai dengan kasus di mana $n=2$ ) Seperti yang ditunjukkan oleh pengguna lain, jumlah kuadrat dari variabel acak normal IID adalah skala chi-kuadrat non-sentralvariabel acak, dan varians bunga dapat diperoleh dari pengetahuan distribusi itu. Namun, juga dimungkinkan untuk mendapatkan varian yang diperlukan menggunakan aturan momen biasa, dikombinasikan dengan pengetahuan tentang momen distribusi normal . Saya akan menunjukkan kepada Anda bagaimana melakukan ini di bawah ini, dalam langkah-langkah.

Menemukan varians menggunakan momen dari distribusi normal: Sejak nilai-nilai adalah IID (dan menganggap sebagai nilai generik dari distribusi ini), Anda memiliki: $X_1, ..., X_n$ $X$ mana kita menyatakan momen mentah sebagai. Momen mentah ini dapat ditulis dengan momen sentraldan rata-ratamenggunakanrumus konversi standar
$\begin{aligned} Q_{n} \equiv V (\sum_{i = 1}^{n} X_{i}^{2}) & = \sum_{i = 1}^{n} V (X_{i}^{2}) \\ = n V (X^{2}) \\ = n (E (X^{4}) - E (X^{2})^{2}) \\ = n (μ_{4}^{'} - μ_{2}^{' 2}), \end{aligned}$ $\begin{equation} \begin{aligned}Q_n \equiv \mathbb{V}\Big( \sum_{i=1}^n X_i^2 \Big) &= \sum_{i=1}^n \mathbb{V}(X_i^2) \\[6pt]&= n\mathbb{V}(X^2) \\[6pt]&= n(\mathbb{E}(X^4) - \mathbb{E}(X^2)^2) \\[6pt]&= n(\mu_4' - \mu_2'^2), \\[6pt]\end{aligned} \end{equation}$ $\mu_k' \equiv \mathbb{E}(X^k)$ $\mu_k \equiv \mathbb{E}((X-\mathbb{E}(X))^k)$ $\mu_1' = \mathbb{E}(X)$ , dan kemudian kita dapat melihat momen sentral dari distribusi normal dan menggantinya.

Dengan menggunakan rumus konversi momen, Anda harus mendapatkan: Untuk distribusikami memiliki meandan tingkat tinggi saat tengah,dan
$\begin{aligned} μ_{2}^{'} & = μ_{2} + μ_{1}^{' 2}, \\ μ_{3}^{'} & = μ_{3} + 3 μ_{1}^{'} μ_{2} + μ_{1}^{' 3}, \\ μ_{4}^{'} & = μ_{4} + 4 μ_{1}^{'} μ_{3} + 6 μ_{1}^{' 2} μ_{2} + μ_{1}^{' 4} . \end{aligned}$ $\begin{equation} \begin{aligned}\mu_2' &= \mu_2 + \mu_1'^2, \\[6pt]\mu_3' &= \mu_3 + 3 \mu_1' \mu_2 + \mu_1'^3, \\[6pt]\mu_4' &= \mu_4 + 4 \mu_1' \mu_3 + 6 \mu_1'^2 \mu_2 + \mu_1'^4. \\[6pt]\end{aligned} \end{equation}$ $X \sim \text{N}(a,b^2)$ $\mu_1' = a$ $\mu_2 = b^2$ $\mu_3 = 0$ . Ini memberi kita momen mentah: $\mu_4 = 3 b^4$ Sekarang, coba ganti ini kembali ke ekspresi asli untuk menemukan varian yang menarik. $\begin{aligned} μ_{2}^{'} & = b^{2} + {Sebuah}^{2}, \\ μ_{3}^{'} & = 3 Sebuah b^{2} + {Sebuah}^{3}, \\ μ_{4}^{'} & = 3 b^{4} + 6 {Sebuah}^{2} b^{2} + {Sebuah}^{4} . \end{aligned}$ $\begin{equation} \begin{aligned}\mu_2' &= b^2 + a^2, \\[6pt]\mu_3' &= 3 a b^2 + a^3, \\[6pt]\mu_4' &= 3 b^4 + 6 a^2 b^2 + a^4. \\[6pt]\end{aligned} \end{equation}$

Mengganti kembali ke ekspresi pertama memberi:
$\begin{aligned} Q_{n} & = n (μ_{4}^{'} - μ_{2}^{' 2}) \\ = n [(3 b^{4} + 6 {Sebuah}^{2} b^{2} + {Sebuah}^{4}) - (b^{2} + {Sebuah}^{2})^{2}] \\ = n [(3 b^{4} + 6 {Sebuah}^{2} b^{2} + {Sebuah}^{4}) - (b^{4} + 2 {Sebuah}^{2} b^{2} + {Sebuah}^{4})] \\ = n [2 b^{4} + 4 {Sebuah}^{2} b^{2}] \\ = 2 n b^{2} (b^{2} + 2 {Sebuah}^{2}) . \end{aligned}$ $\begin{equation} \begin{aligned}Q_n &= n(\mu_4' - \mu_2'^2) \\[6pt]&= n[(3 b^4 + 6 a^2 b^2 + a^4) - (b^2 + a^2)^2] \\[6pt]&= n[(3 b^4 + 6 a^2 b^2 + a^4) - (b^4 + 2 a^2 b^2 + a^4)] \\[6pt]&= n[2 b^4 + 4 a^2 b^2] \\[6pt]&= 2nb^2 (b^2 + 2a^2). \\[6pt]\end{aligned} \end{equation}$ $n=2$ $Q_2 = 4b^2 (b^2 + 2a^2)$

$X_i / b \sim \text{N}(a/b, 1)$
$\sum_{saya = 1}^{n} (\frac{X_{saya}}{b})^{2} \sim Chi-Sq Non-sentral (k = n, λ = \frac{n {Sebuah}^{2}}{b^{2}}) .$ $\sum_{i=1}^n \Big(\frac{X_i}{b} \Big)^2 \sim \text{Non-central Chi-Sq}\Big( k=n, \lambda= \frac{n a^2}{b^2} \Big).$ $\begin{aligned} Q_{n} \equiv V (\sum_{saya = 1}^{n} X_{saya}^{2}) & = b^{4} \cdot V (\sum_{saya = 1}^{n} (\frac{X_{saya}}{b})^{2}) \\ = b^{4} \cdot 2 (k + 2 λ) \\ = 2 b^{4} (n + 2 \frac{n {Sebuah}^{2}}{b^{2}}) \\ = 2 n b^{2} (b^{2} + 2 {Sebuah}^{2}) . \end{aligned}$ $\begin{equation} \begin{aligned}Q_n \equiv \mathbb{V}\Big( \sum_{i=1}^n X_i^2 \Big) &= b^4 \cdot \mathbb{V}\Big( \sum_{i=1}^n \Big(\frac{X_i}{b} \Big)^2 \Big) \\[6pt]&= b^4 \cdot 2(k+2 \lambda) \\[6pt]&= 2 b^4 \Big( n + 2 \frac{na^2}{b^2} \Big) \\[6pt]&= 2 n b^2 (b^2 + 2a^2). \\[6pt]\end{aligned} \end{equation}$

— Ben - Pasang kembali Monica
sumber

2

Tag spoiler tidak perlu dan mengganggu.

— Alexis

3

$X$ $Y$ $\text{N} (a, b^2)$ $\left( \frac{X - a}{b} \right)^2 + \left( \frac{Y - a}{b} \right)^2$ $\chi ^2(2)$

Apakah Anda pikir Anda dapat mengambilnya dari sana?

— SOULed_Outt
sumber

1

Jawabannya ada dalam distribusi Chi-squared non-sentral .

$2(k + 2(a^2))$ $k=2$ $X$ $Y$

— idnavid
sumber