Distribusi normal


8

Ada masalah statistik yang sayangnya saya tidak tahu harus mulai dari mana (saya belajar sendiri sehingga tidak ada yang bisa saya tanyakan, jika saya tidak mengerti sesuatu.

Pertanyaannya adalah

X,Y iidN(a,b2);a=0;b2=6;var(X2+Y2)=?

Jawaban:


6

Karena Anda berurusan dengan data normal IID, perlu generalisasi masalah Anda sedikit untuk melihat kasus di mana Anda memiliki X1,...,XnIID N(a,b2) dan Anda ingin QnV(i=1nXi2) . (Pertanyaan Anda sesuai dengan kasus di mana n=2 ) Seperti yang ditunjukkan oleh pengguna lain, jumlah kuadrat dari variabel acak normal IID adalah skala chi-kuadrat non-sentralvariabel acak, dan varians bunga dapat diperoleh dari pengetahuan distribusi itu. Namun, juga dimungkinkan untuk mendapatkan varian yang diperlukan menggunakan aturan momen biasa, dikombinasikan dengan pengetahuan tentang momen distribusi normal . Saya akan menunjukkan kepada Anda bagaimana melakukan ini di bawah ini, dalam langkah-langkah.


Menemukan varians menggunakan momen dari distribusi normal: Sejak nilai-nilai adalah IID (dan menganggap X sebagai nilai generik dari distribusi ini), Anda memiliki: Q nV ( n i = 1 X 2 i )X1,...,XnX mana kita menyatakan momen mentah sebagaiμkE(Xk). Momen mentah ini dapat ditulis dengan momen sentralμkE((X-E(X))k)dan rata-rataμ1 =E(X)menggunakanrumus konversi standar

QnV(i=1nXi2)=i=1nV(Xi2)=nV(X2)=n(E(X4)E(X2)2)=n(μ4μ22),
μkE(Xk)μkE((X-E(X))k)μ1=E(X), dan kemudian kita dapat melihat momen sentral dari distribusi normal dan menggantinya.

Dengan menggunakan rumus konversi momen, Anda harus mendapatkan: Untuk distribusiX~N(a,b2)kami memiliki meanμ ' 1 =adan tingkat tinggi saat tengahμ2=b2,μ3=0danμ4=3

μ2=μ2+μ12,μ3=μ3+3μ1μ2+μ13,μ4=μ4+4μ1μ3+6μ12μ2+μ14.
XN(Sebuah,b2)μ1=aμ2=b2μ3=0 . Ini memberi kita momen mentah: μ 2μ4=3b4 Sekarang, coba ganti ini kembali ke ekspresi asli untuk menemukan varian yang menarik.
μ2=b2+Sebuah2,μ3=3Sebuahb2+Sebuah3,μ4=3b4+6Sebuah2b2+Sebuah4.

Mengganti kembali ke ekspresi pertama memberi:

Qn=n(μ4-μ22)=n[(3b4+6Sebuah2b2+Sebuah4)-(b2+Sebuah2)2]=n[(3b4+6Sebuah2b2+Sebuah4)-(b4+2Sebuah2b2+Sebuah4)]=n[2b4+4Sebuah2b2]=2nb2(b2+2Sebuah2).
n=2Q2=4b2(b2+2Sebuah2)

Xsaya/bN(Sebuah/b,1)

saya=1n(Xsayab)2Chi-Sq Non-sentral(k=n,λ=nSebuah2b2).
QnV(saya=1nXsaya2)=b4V(saya=1n(Xsayab)2)=b42(k+2λ)=2b4(n+2nSebuah2b2)=2nb2(b2+2Sebuah2).

2
Tag spoiler tidak perlu dan mengganggu.
Alexis

3

XYN(Sebuah,b2)(X-Sebuahb)2+(Y-Sebuahb)2χ2(2)

Apakah Anda pikir Anda dapat mengambilnya dari sana?


Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.