Penjelasan / motivasi intuitif distribusi stasioner dari suatu proses

Seringkali, dalam literatur, penulis tertarik untuk menemukan distribusi stasioner dari proses deret waktu. Sebagai contoh, perhatikan proses AR ( ) sederhana berikut ini : mana . $1$ $\{X_t\}$

X_{t} = α X_{t - 1} + e_{t},

$X_t = \alpha X_{t-1} + e_t,$

e_{t} \overset{i i d}{\sim} f

$e_t\stackrel{iid}{\thicksim} f$

Apa yang mungkin menjadi motivasi untuk menemukan distribusi stasioner dari setiap proses stokastik?

Apa yang lain (teoretis dan praktis) menganalisis yang mungkin dilakukan dengan menggunakan distribusi stasioner yang dihasilkan?

Apa masalah jika distribusi stasioner tidak ada? Apakah prosesnya akan menjadi tidak berguna?

Bagaimana jika distribusi stasioner ada tetapi tidak memiliki bentuk tertutup? Apa kerugiannya tidak memiliki ekspresi bentuk tertutup yang sama?

— Shanks
sumber

Sampai batas tertentu, saya pikir kami tertarik pada distribusi stasioner dari proses AR untuk alasan yang sama mengapa kami tertarik pada distribusi proses iid. Asalkan distribusi stasioner ada, maka distribusi marginal , yang memberitahu kita rata-rata dan varians atau interval kepercayaan secara umum. Memang, saya hanya tertarik pada proses stasioner kovarian, karena dengan CLT, saya tahu distribusi asimtotik selama saya tahu mean dan varians.

X_{t}

$X_{t}$

— semibruin

Ada berbagai motivasi untuk minat distribusi stasioner dalam konteks ini, tetapi mungkin aspek yang paling penting adalah bahwa mereka terkait erat dengan membatasi distribusi. Untuk sebagian besar proses deret waktu, ada hubungan erat antara distribusi stasioner dan distribusi terbatas dari proses tersebut. Di bawah kondisi yang sangat luas, proses deret waktu berdasarkan istilah kesalahan IID memiliki distribusi stasioner, dan mereka menyatu dengan distribusi stasioner ini sebagai distribusi terbatas untuk setiap distribusi awal yang Anda tentukan. Itu berarti bahwa jika Anda membiarkan proses berjalan untuk waktu yang lama, distribusinya akan dekat dengan distribusi stasioner terlepas dari bagaimana memulai. Jadi, jika Anda memiliki alasan untuk percaya bahwa prosesnya telah berjalan untuk waktu yang lama,

Dalam pertanyaan Anda, Anda menggunakan contoh proses deret waktu AR ( ) dengan ketentuan kesalahan IID dengan distribusi marginal sewenang-wenang. Jika maka model ini adalah rantai Markov yang homogen waktu berulang dan distribusinya dapat ditemukan dengan membalikkannya ke proses MA ( ): $1$ $|\alpha|<1$ $\infty$

X_{t} = \sum_{k = 0}^{\infty} α^{k} e_{t - k} e_{t} \sim IID f .

$X_t = \sum_{k=0}^\infty \alpha^{k} e_{t-k} \quad \quad \quad e_t \sim \text{IID }f.$

Kita dapat melihat bahwa proses tersebut adalah jumlah terbobot dari rantai tak terbatas istilah kesalahan IID, di mana bobotnya secara eksponensial membusuk. Distribusi pembatas dapat diperoleh dari distribusi kesalahan dengan konvolusi yang sesuai untuk jumlah tertimbang ini. Secara umum, ini akan tergantung pada bentuk dan mungkin distribusi yang rumit. Namun, perlu dicatat bahwa jika distribusi kesalahan tidak berekor berat, dan jika sehingga pembusukannya lambat, maka distribusi pembatasnya akan mendekati distribusi normal, karena perkiraan oleh batas pusat teorema . $f$ $f$ $\alpha \approx 1$

Aplikasi praktis: Di sebagian besar aplikasi proses seri-waktu AR ( ), kami mengasumsikan distribusi kesalahan normal , yang berarti bahwa distribusi stasioner proses tersebut adalah : $1$ $e_t \sim \text{IID N}(0, \sigma^2)$

X_{t} \sim N (0, \frac{σ^{2}}{1 - α^{2}}) .

$X_t \sim \text{N} \Big( 0, \frac{\sigma^2}{1-\alpha^2} \Big).$

Terlepas dari distribusi awal untuk proses, distribusi stasioner ini adalah distribusi terbatas dari proses. Jika kami memiliki alasan untuk meyakini bahwa proses telah berjalan untuk jumlah waktu yang masuk akal, maka kami tahu bahwa proses tersebut akan menyatu dekat dengan distribusi terbatas ini, jadi masuk akal untuk mengasumsikan bahwa proses tersebut mengikuti distribusi ini. Tentu saja, seperti halnya dengan aplikasi pemodelan statistik, kami melihat plot / tes diagnostik untuk melihat apakah data memalsukan bentuk model yang kami asumsikan. Namun demikian, formulir ini cocok dengan kelas kasus yang luas di mana model AR ( ) digunakan. $1$

Bagaimana jika distribusi stasioner tidak ada: Ada proses deret waktu tertentu di mana distribusi stasioner tidak ada. Ini paling umum ketika ada beberapa aspek periodik tetap untuk seri, atau beberapa negara menyerap (atau kelas negara non-berkomunikasi lainnya). Dalam hal ini mungkin tidak ada distribusi pembatas, atau distribusi pembatas mungkin merupakan distribusi marjinal yang dikumpulkan di beberapa kelas yang tidak berkomunikasi, yang tidak terlalu berguna. Ini bukan masalah yang inheren - itu hanya berarti Anda memerlukan jenis model berbeda yang dengan benar mewakili sifat non-stasioner dari proses tersebut. Ini lebih rumit, tetapi teori statistik memiliki cara dan cara untuk menghadapinya.

— Ben - Pasang kembali Monica
sumber

Terima kasih banyak, @Ben atas jawabannya. Ini menghilangkan beberapa keraguan saya. Anda telah mengatakan bahwa distribusi stasioner dapat digunakan dalam berbagai aplikasi statistik. Apakah itu berarti bahwa distribusi stasioner berguna jika hanya memiliki bentuk tertutup? Jika Anda mengklarifikasi sedikit lebih banyak tentang apa yang akan terjadi jika distribusi stasioner ada tetapi tidak memiliki bentuk eksplisit?

— Shanks

Kasus yang biasa adalah mengasumsikan distribusi normal untuk istilah kesalahan, yang kemudian mengarah ke distribusi stasioner yang terdistribusi normal untuk proses. Ini juga memiliki keuntungan sebagai distribusi yang dibentuk dari CLT. Jika Anda menggunakan model dengan distribusi stasioner yang tidak dalam bentuk tertutup, Anda bisa mensimulasikannya atau mengambil perkiraan menggunakan campuran distribusi normal. Sangat jarang melihat orang menggunakan proses yang tidak normal.

— Ben - Reinstate Monica

Saya pikir distribusi stasioner menjadi tidak normal jika kita sedikit mempersulit fungsi autoregresif, katakanlah atau .

X_{t} = α X_{t - 1}^{2} + e_{t}

$X_t = \alpha X_{t-1}^2 + e_t$

X_{t} = α | X_{t - 1} | + e_{t}

$X_t = \alpha |X_{t-1}| + e_t$

— Shanks

Sekarang Anda memiliki bentuk model yang berbeda, dan dengan demikian pertanyaan yang berbeda.

— Ben - Reinstate Monica