Bukti geometris
Tampilan geometris
Pertimbangkan sampel yang diamati sebagai titik dalam ruang Euclidean n-dimensi dan estimasi rata-rata sebagai proyeksi pengamatan x1,x2,...,xn ke garis model x1=x2=...=xn=x¯.
Skor-t dapat dinyatakan sebagai rasio dua jarak dalam ruang ini
Ini terkait dengan garis singgung sudut antara pengamatan dan garis yang diproyeksikan.
tn−1−−−−−√=n−−√(x¯−μ)∑ni=1(x^−xi)2−−−−−−−−−−−√=1tanθ
Distribusi t-ekivalen dan distribusi sudut
Dalam tampilan geometris ini, probabilitas skor-t lebih tinggi dari beberapa nilai setara dengan probabilitas sudut kurang dari beberapa nilai:
Pr(|T|>tn−1,α/2)=2Pr(θ≤θν,α)=α
Atau
tn−1,α/2n−1−−−−−√=1tanθν,α
Anda bisa mengatakan bahwa skor-t berhubungan dengan sudut pengamatan dengan garis model teoretis. Untuk poin di luar interval kepercayaan (laluμ lebih jauh dari x¯ dan sudut akan lebih kecil) sudut akan di bawah batas tertentu θν,α. Batas ini akan berubah dengan lebih banyak pengamatan. Jika batas sudut iniθν,α pergi ke 90 derajat untuk besar n (bentuk kerucut semakin datar, yaitu kurang runcing dan panjang) maka ini berarti bahwa ukuran interval kepercayaan menjadi lebih kecil dan mendekati nol.
Distribusi sudut sebagai area relatif dari tutup bola-n
Karena simetri distribusi probabilitas gabungan variabel bebas terdistribusi normal, setiap arah adalah probabilitas yang sama dan probabilitas untuk sudut berada dalam wilayah tertentu sama dengan luas relatif tutup n-bola.
Area relatif n-cap ini ditemukan dengan mengintegrasikan area n-frustum :
2Pr(θ≤θc)===2∫111+tan(θc)2√(1−x2)n−32B(12,n−12)dx∫111+tan(θc)2t−0.5(1−t)n−32B(12,n−12)dtI11+tan(θc)2(12,n−12)
dimana Ix(⋅,⋅) adalah fungsi beta tidak lengkap yang teregulasi atas.
Batas sudut
Jika θn,α pergi ke 90 derajat untuk n→∞ kemudian tn−1,α/2/n−−√ pergi ke nol.
Atau pernyataan terbalik: untuk sudut apa pun yang lebih kecil dari 90 derajat area relatif sudut itu pada bola-n, berkurang menjadi nol saat n pergi hingga tak terbatas.
Secara intuitif ini berarti bahwa semua area bola-n berkonsentrasi ke ekuator sebagai dimensi n meningkat hingga tak terbatas.
Secara kuantitatif kita dapat menunjukkan ini dengan menggunakan ekspresi
∫1at−0.5(1−t)n−32B(12,n−12)dt<∫1a(1−a)n−32B(12,n−12)dt=(1−a)n−12B(12,n−12)=L(n)
dan pertimbangkan perbedaannya L(n+2) dan L(n).
Di beberapa titik penurunan penyebut
B(12,x+1)B(12,x)=xx+12
akan diambil alih oleh penurunan pembilang
(1−a)n+12(1−a)n−12=1−a
dan fungsinya
L(n) berkurang menjadi nol untuk
n hingga tak terbatas.