Versi pendek
Saya mencoba untuk secara analitis menyelesaikan / memperkirakan kemungkinan gabungan yang dihasilkan dari Poisson independen menarik dan pengambilan sampel lebih lanjut dengan atau tanpa penggantian (saya tidak benar-benar peduli yang mana). Saya ingin menggunakan kemungkinan dengan MCMC (Stan), jadi saya perlu solusinya hanya sampai jangka waktu yang konstan. Pada akhirnya, saya ingin membuat model proses di mana penarikan awal dari neg. distribusi binomial, tapi saya pikir saya akan bisa sampai di sana dengan solusi untuk kasus Poisson.
Sangat mungkin bahwa solusinya tidak layak (saya tidak mengerti matematika cukup untuk dapat mengetahui apakah ini masalah yang sederhana atau sangat sulit). Karena itu saya juga tertarik pada perkiraan, hasil negatif atau intuisi mengapa masalahnya mungkin tidak dapat diselesaikan (misalnya membandingkan dengan masalah sulit yang diketahui). Tautan ke makalah / teorema / trik yang berguna yang akan membantu saya bergerak maju adalah jawaban yang baik meskipun koneksi mereka ke masalah yang ada belum sepenuhnya teratasi.
Pernyataan formal
Lebih formal, pertama diambil secara independen dan kemudian saya sampel item secara acak dari semua untuk mendapatkan . Yaitu saya menggambar bola berwarna dari guci di mana jumlah bola warna diambil dari . Di sini, diasumsikan diketahui dan diperbaiki dan kami mengkondisikan pada . Secara teknis pengambilan sampel dilakukan tanpa penggantian, tetapi mengasumsikan pengambilan sampel dengan penggantian tidak boleh menjadi masalah besar.
Saya telah mencoba dua pendekatan untuk menyelesaikan pengambilan sampel tanpa penggantian (karena ini tampaknya menjadi kasus yang lebih mudah karena beberapa ketentuan membatalkan), tetapi terjebak dengan keduanya. Kemungkinan pengambilan sampel tanpa penggantian adalah:
EDIT: Bagian "percobaan solusi telah dihapus karena solusi dalam jawaban tidak dibangun di atasnya (dan jauh lebih baik)