Apakah ada distribusi selain Cauchy yang berarti aritmatika sampel mengikuti distribusi yang sama?

Jika $X$ mengikuti distribusi Cauchy maka $Y = \bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ juga mengikuti persis distribusi yang sama seperti $X$ ; lihatutas ini.

Apakah properti ini punya nama?
Apakah ada distribusi lain yang benar?

EDIT

Cara lain untuk mengajukan pertanyaan ini:

misalkan $X$ adalah variabel acak dengan kerapatan probabilitas $f(x)$ .

biarkan $Y=\frac 1 n\sum_{i=1} ^n X_i$ , di mana $X_i$ menunjukkan pengamatan i dari $X$ .

$Y$ itu sendiri dapat dianggap sebagai variabel acak, tanpa mengkondisikan nilai $X$ .

Jika $X$ mengikuti distribusi Cauchy, maka fungsi kerapatan probabilitas $Y$ adalah $f(x)$

Apakah ada fungsi kerapatan probabilitas (non trivial *) jenis lain untuk $f(x)$ yang menghasilkan $Y$ memiliki fungsi kerapatan probabilitas $f(x)$ ?

* Satu-satunya contoh sepele yang bisa saya pikirkan adalah Dirac delta. yaitu bukan variabel acak.

— Leech Chechy
sumber

Judul Anda tidak masuk akal, karena "nilai yang diharapkan dari sampel" adalah angka. Apakah maksud Anda rata-rata aritmatika sampel? Pertanyaannya juga tidak jelas: dengan "distribusi" apakah yang Anda maksud adalah distribusi tertentu atau maksud Anda - seperti yang disarankan oleh istilah "Cauchy" - keluarga distribusi? Itu bukan sedikit kehalusan: jawabannya benar-benar berubah tergantung pada apa yang Anda maksud. Harap edit posting Anda untuk memperjelasnya.

— Whuber

@whuber, saya menambahkan bagian kedua dari pertanyaan yang semoga memperketat kisaran interpretasi yang mungkin.

— Chechy Levas

Terima kasih; yang membersihkan sebagian besar. Namun, ada jawaban yang berbeda tergantung pada apakah Anda memperbaiki

atau jika Anda ingin hasil ini berlaku untuk semua

Jika yang terakhir, kondisi pada cf atau cgf parah dan mengarah ke solusi siap. Jika yang pertama, maka berpotensi ada solusi tambahan.

n

$n$

n .

$n.$

— Whuber

Saya berpikir untuk semua

tetapi jika ada yang ingin memberikan analisis pada

tetap juga, itu akan diterima.

n

$n$

n

$n$

— Chechy Levas

Ini sebenarnya bukan jawaban, tetapi setidaknya sepertinya tidak mudah untuk membuat contoh seperti itu dari distribusi yang stabil. Kita perlu menghasilkan rv yang fungsinya sama dengan fungsi rata-rata.

Secara umum, untuk penarikan awal, cf dari rata-rata adalah

ϕ_{{\bar{X}}_{n}} (t) = [ϕ_{X} (t / n)]^{n}

$\phi_{\bar{X}_n}(t)=[\phi_X(t/n)]^n$

ϕ_{X}

$\phi_X$

ϕ_{X} (t) = \exp {- | c t |^{α} (1 - i β sgn (t) Φ)},

$\phi_X(t)=\exp\{-|ct|^\alpha(1-i\beta \text{sgn}(t)\Phi)\},$

Φ = {\begin{cases} \tan (\frac{π α}{2}) & α \neq 1 \\ - \frac{2}{π} \log | t | & α = 1 \end{cases}

$\Phi=\begin{cases}\tan\left(\frac{\pi\alpha}{2}\right)&\alpha\neq1\\-\frac{2}{\pi}\log|t|&\alpha=1\end{cases}$

α = 1

$\alpha=1$

β = 0

$\beta=0$

ϕ_{{\bar{X}}_{n}} (t) = ϕ_{X} (t)

$\phi_{\bar{X}_n}(t)=\phi_X(t)$

c > 0

$c>0$

ϕ_{{\bar{X}}_{n}} (t) = \exp {- n {| c \frac{t}{n} |}^{α} (1 - i β sgn (\frac{t}{n}) Φ)},

$\phi_{\bar{X}_n}(t)=\exp\left\{-n\left|c\frac{t}{n}\right|^\alpha\left(1-i\beta \text{sgn}\left(\frac{t}{n}\right)\Phi\right)\right\},$

ϕ_{{\bar{X}}_{n}} (t) = ϕ_{X} (t)

$\phi_{\bar{X}_n}(t)=\phi_X(t)$

α = 1

$\alpha=1$

\begin{array}{rcl} ϕ_{{\bar{X}}_{n}} (t) & = & \exp {- n | c \frac{t}{n} | (1 - i β sgn (\frac{t}{n}) (- \frac{2}{π} \log | \frac{t}{n} |))} \\ = & \exp {- | c t | (1 - i β sgn (t) (- \frac{2}{π} \log | \frac{t}{n} |))}, \end{array}

$\begin{eqnarray*} \phi_{\bar{X}_n}(t)&=&\exp\left\{-n\left|c\frac{t}{n}\right|\left(1-i\beta \text{sgn}\left(\frac{t}{n}\right)\left(-\frac{2}{\pi}\log\left|\frac{t}{n}\right|\right)\right)\right\}\\ &=&\exp\left\{-\left|ct\right|\left(1-i\beta \text{sgn}\left(t\right)\left(-\frac{2}{\pi}\log\left|\frac{t}{n}\right|\right)\right)\right\}, \end{eqnarray*}$

\log | \frac{t}{n} | \neq \log | t |

$\log\left|\frac{t}{n}\right|\neq\log\left|t\right|$

— Christoph Hanck
sumber

Jadi apakah adil untuk mengatakan bahwa berdasarkan analisis Anda, Cauchy adalah satu-satunya solusi untuk a = 1?

— Chechy Levas

Itulah kesan saya dari hasil ini, tetapi saya cukup yakin bahwa ada orang yang lebih berpengetahuan di sini dengan distribusi stabil.

— Christoph Hanck

ψ = \log ϕ

$\psi=\log \phi$

ψ (t / n) = ψ (t) / n

$\psi(t/n) = \psi(t)/n$

n = 1, 2, 3, \dots .

$n=1,2,3,\ldots.$

ψ

$\psi$

ψ

$\psi$

- | c t | .

$-|ct|.$

α = 1

$\alpha = 1$

α = 0

$\alpha = 0$